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Des polynomes invariants par une substitution linéaire. (French) JFM 45.0245.02

Eine lineare Substitution \(S\) läßt sich auf die kanonische Form bringen: \[ \left|\begin{matrix} x_m, & x_{m-1},\dots,x_0, &a(x_m+x_{m-1}), &a(x_{m-1}+x_{m-2},\dots,ax_0\;y_n, &y_{n-1},\dots,y_0, &b(y_n+y_{n-1}), &b(y_{n-1}+y_{n-2},\dots,by_0\;. & . & . & . & \dots & .\end{matrix}\right|, \] zerfällt also in das Produkt \(S_1S_2\), wo \[ \begin{aligned} &S_1=| x_m, \dots, x_0, ax_m, \dots, a x_0|,\;&S_2=| x_m, \dots, x_0, x_m+x_{m-1}, \dots, x_0|.\end{aligned} \] Sei \(F\) eine Form in den Variabeln von \(S\) und \(F_{\lambda\mu\nu}\) das Aggregat der Glieder in \(F\) von den Geraden \(\lambda,\mu,\nu,\dots\) in den \(x,y,z,\dots\), das vermöge \(S\) in eine analoge Bildung \(G_{\lambda\mu\nu}\) übergehe.
Soll \(F=\sum F_{\lambda\mu\nu\dots}\), mit ihrer Transformierten \(G=\sum G_{\lambda\mu\nu\dots}\) übereinstimmen, so muß einzeln (1) \(F_{\lambda\mu\nu\dots}=G_{\lambda\mu\nu\dots}\) usf. sein.
Damit ist die Aufsuchung invarianter Formen zurückgeführt auf dem Fall von Formen, die in bezug auf jede der Reihen \(x,y,z,\dots\) einzelnen homogen sind. Es bedeute \(D\) den Differentialprozeß \(\left(x_{m-1}\,\frac{\partial}{\partial x_m}+ x_{m-2}\,\frac{\partial}{\partial x_{m- 1}}+\cdots+x_0\,\frac{\partial}{\partial x_1}\right)+()+()+\cdots\), so hat man für \(G_{\lambda\mu\nu\dots}\) die symbolische Entwicklung \(G_{\lambda\mu\nu\dots}=a^{\lambda}b^{\mu}c^{\nu}\dots\left(1+D+\frac{D ^2}{1.2}+\cdots\right)F_{\lambda\mu\nu\dots}\).
Jeder der Variabeln \(x,y,z,\dots\) werde ein Gewicht gleich ihrem Index beigelegt, so daß \(F\) eine Summe isobarer Ausdrücke wird. Man setze dann \(F_{\lambda\mu\nu\dots}=\Phi+\Psi\), wo \(\Psi\) alle Glieder vom Maximalgewicht \(p\) vereinigt. Das entsprechende Aggregat in \(G_{\lambda\mu\nu\dots}\) ist aber \(a^{\lambda}b^{\mu}c^{\nu}\dots\Phi\). Mit Rücksicht auf (1) hat man also als Bedingung dafür, daß \(S_1\) Polynome \(F\) und \(\Phi\) invariant läßt, (2) \(a^{\lambda}b^{\mu}c^{\nu}\cdots=1\). Setzt man dies in (1) ein, so ergibt sich (3) \(D\Phi=0\) als Bedingung dafür, daß \(\Phi\) gegenüber \(S_2\) invariant bleibt.
Nunmehr sind die Bedingungen (2) und (3) zu diskutieren.
Die ganzzahligen Lösungen \(\lambda,\mu,\nu,\dots\) von (2) werden auf “primitive” zurückgeführt, die sich selbst nicht als Summen von zwei einfacheren Lösungen darstellen lassen; es zeigt sich, daß die Anzahl der primitiven Lösungen eine endliche ist. Daraus läßt sich folgern, daß die vollständigen Lösungen von (2) die Gestalt besitzen: \[ (4)\quad \lambda=\beta_1u_1+\beta_2u_2+\cdots,\;\mu=\gamma_1u_1+\gamma_2u_2+\cdots,\;{\text{usf.,}} \] wo die \(\beta,\gamma,\delta,\dots\) bestimmte, nicht negative ganze Zahlen sind, und die \(u\) willürliche solche Zahlen.
Damit hat man alle Polynome \(F\) ermittelt, die gegenüber der Substitution \(S_1\) ungeändert bleiben. Nunmehr ist noch die zweite Bedingung (3) \(DF=0\) zu berücksichtigen. Die Gleichung besitzt gewisse numerische Polynome \(X_k(k=2,\dots,m), Y_k(k=2,\dots,n), Z_k(k=2,\dots,p),\dots,X_1,Y_1,Z_1,\dots\) zu partikulären Lösungen. Mit Hülfe dieser läßt sich aber die allgemeine Lösung von (3) konstruieren. Setzt man die Werte jener speziellen Lösungen in \(F\) ein, so ergibt sich ein Resultat von der Struktur \(x_0^{\alpha},y_0^{\beta},z_0^{\gamma}\dots F=P\). Soll jetzt \(DP\) verschwinden, das sich auf \(z_1\,\frac{\partial P}{\partial z_1}\) reduziert, so muß \(P\) unabhängig von \(z_1\) sein, und umgekehrt.
In der Zusatznote gibt der Verf. an, daß er von Hilton auf eine Ungenauigkeit aufmerksam gemacht worden sei; ein der Bedingung \(D\Phi=0\) genügendes Polynom \(\Phi\) sei an sich noch nicht \(S_2\) gegenüber invariant. Der Beweis ist daher dahin abzuändern, daß an Stelle der obigen Polynome \(Z_k,Y_k, Z_k, \dots\), gewisse andere \(\xi_k, \eta_k, \zeta_k,\dots\) zu setzen sind, die in der Tat gegenüber \(S_2\) invariant sind.
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