Les groupes projectifs continus réels qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane. (French) JFM 45.0247.01

Cartan, E.

Journ. de Math. (6) 10, 149-186 (1914).

Der Verf. hat früher (F. d. M. 44, 170 (JFM 44.0170.*), 1913) die Aufgabe gelöst, alle projektiven Gruppen in komplexen Veränderlichen und mit komplexen Parametern zu bestimmen, die keine ebene Mannigfaltigkeit invariant lassen. Jetzt sucht er alle projektiven Gruppen in reellen Veränderlichen und mit reellen Parametern, die keine reelle ebene Mannigfaltigkeit invariant lassen. Betrachtet man in einer \(r\)-gliedrigen Gruppe \(G\) dieser Art die \(n\) Veränderlichen als komlex, so erhält man eine Gruppe \(\mathfrak G\) die entweder gar keine oder zwei konjugiert komplexe ebene Mannigfaltigkeit invariant läßt. Im ersten Falle läßt \(\mathfrak G\) die Antiinvolution \(X_k=\overline{x_k}\) invariant, wo \(\overline{u}\) die zu \(u\) konjugiert komplexe Größe bezeichnet. Unter einer Antiinvolution ist hier eine Antihomographie: \[ X_k=\sum_{\nu}^{1,\dots,n}a_{k,\nu}\overline{x_{\nu}} (k=1,\dots,n) \] zu verstehen, die zweimal hintereinander ausgeführt das Wertsystem \(x_k,\overline{x_k}\) proportional ändert, für die also Relationen von der Form: \[ \sum_{\nu}^{1,\dots,n}a_{k,\nu}\overline{a_{\nu j}} =\varepsilon_{kj}h \] bestehen, wo \(h\) eine reelle Zahl bedeutet, während \(\varepsilon_{kj}=0\) für \(k\neq 1\) und \(=1\) für \(k=j\). Die Antiinvolution \(X_k=\overline{x_k}\) insbesondere ist von der ersten Art, weil die zugehörige Zahl \(h\) positiv ist; sie ist die einzige bei \(\mathfrak G\) invariante Antiinvolutionerster Art. Im zweiten Falle ist \(n\) gerade \(=2\nu\), und zu \(\mathfrak G\) gehört eine ganz bestimmte projektive Gruppe \(\mathfrak G'\) in \(\nu\) komplexen Veränderlichen und mit \(r\) reellen Parametern, die keine ebene Mannigfaltigkeit und auch keine Antiinvolution erster Art invariant läßt.
Auf diese Weise in jeder Gruppe \(G\) eine projektive Gruppe \(\Gamma\), nämlich \(\mathfrak G\) oder \(\mathfrak G'\), mit komplexen Veränderlichen und reellen Parametern assoziiert, die keine ebene Mannigfaltigkeit invariant läßt. Es läßt sich zeigen, daß umgekehrt jede Gruppe \(\Gamma\) dieser Art einer und nur einer Gruppe \(G\) assoziiert ist.
Läßt nämlich \(\Gamma\) eine Antiinvolution erster Art invariant, so ist diese die einzige invariante Antiinvolution erster Art, und indem man diese auf die Form \(X_k=\overline{x_k}\) bringt, erhält \(\Gamma\) eine Form, in der es unmittelbar als eine Gruppe \(G\) aufgefaßt werden kann. Läßt andrerseits \(G\) keine Antiinvolution erster Art invariant, so ist es zu der Gruppe \(G\) assoziiert, die angibt, wie bei \(\Gamma\) die reellen Teile und die Koeffizienten von \(i\) in den Veränderlichen transformiert werden.
Demnach hat man, wenn man alle projektiven Gruppen in komplexen Veränderlichen und mit komplexen Parametern kennt, die eine ebene Mannigfaltigkeit invariant lassen, zunächst alle projektiven Gruppen mit komplexen Veränderlichen und mit reellen Parametern aufzusuchen, die keine ebene Mannigfaltigkeit invariant lassen und dann unter den gefundenen Gruppen diejenigen zu ermitteln, die eine Antiinvolution erster Art invariant lassen. Auch für die Lösung dieser Aufgaben gibt der Verf. die nötigen Vorschriften. Auch gibt er eine vollständige Aufzählung der Zusammensetzungen, die die gesuchten Gruppen haben können, wenn die Dimensionenzahl des Raumes 7 nichtübersteigt, und zeigt, wie man dieselbe bis zur Dimensionenzahl leisten kann.
Endlich zeigt er, daß hiermit auch das folgende Problem gelöst ist:
Kennt man in einem projektiven Raume \(R\) mit komplexen Punkten eine projektive Gruppe \(\Gamma\), die keine ebene Mannigfaltigkeit invariant läßt, so sollen die komplexen Punkte von \(R\) in einem andern reellen Raume \(R'\) derart durch reelle Figuren abgebildet werden, daß \(G\) in \(R'\) eine reelle projektive Gruppe wird, die keine reelle ebene Mannigfaltigkeit invariant läßt.

Reviewer: Engel, Prof. (Gießen)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Substitutionen undGruppentheorie, Determinanten, Elimination und symmetrische Funktionen. A. Substitutionen und Gruppentheorie.

Citations:

JFM 44.0170.*