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Über die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen. (German) JFM 45.0381.04
Aus seinen Untersuchungen über Interpolation, über die Faber auf der Karlsruher Naturforscherversammlung 1911 berichtet hat, werden hier vier Sätze negativen Inhalts bewiesen, die sich auf die gleichmäßige Approximation stetiger Funktionen durch Interpolationspolynome beziehen.
1. \(f(t)\) sei stetig und habe die Periode \(2\pi\). Jedem \(n=1,2,\dots\) werden \(2n+1\) Punkte \(t_1^{(n)},\dots,t_{2n+1}^{(n)}\) des Intervalls \(0 \dots 2\pi\) zugeordnet. \(I_n(f(t))\) bezeichne dasjenige eindeutig bestimmte trigonometrische Polynom \(n\)-ter Ordnung, das an den \((2n+1)\) Stellen \(t_i^{(n)}\) mit \(f(t)\) übereinstimmt. Dann lautet die Frage: Kann die Menge \(M\) aller Interpolationsstellen \(t_i^{(n)},\;(n=1,2,\dots,\;i=1,2,\dots,2n+1)\), ein für allemal so gewählt werden, daß \(I_n(f(t))\) für jede Funktion \(f(t)\) der genannten Art gleichmäßig gegen \(f(t)\) konvergiert? Diese Frage wird verneint. – Ähnlich:
2. Es gibt keine Folge von trigonometrischen Polynomen \(\chi_0,\chi_1(t),\chi_2(t),\dots\), wo \(\chi_0\) eine Konstante ist und \(\chi_{2\nu-1}\) und \(\chi_{2\nu}\) von \(\nu\)-ter Ordnung sind, mit der Eigenschaft, daß sich jede stetige und die Periode \(2\pi\) besitzende Funktion \(f(t)\) in ein gleichmäßig konvergente Reihe \[ a_0+a_1\chi_1(t)+a_2\chi_2(t)+\dots \] mit eindeutig bestimmten und in stetiger Weise von \(f(t)\) abhängigen Koeffizienten \(a_\nu \) entwickeln ließe.
Der 3. und 4. Satz behandeln die genau entsprechenden Fragen für ganze rationale Polynome. Auch hier ist das Ergebnis negativ.

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