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Some theorems concerning power series and Dirichlet’s series. (English) JFM 45.0390.01

Messenger 43, 134-147 (1914).
Die vorliegende Arbeit bringt mannigfache Ergänzungen zu den verschiedenen Arbeiten der beiden Verfasser in der Lond. M. S. Proc. (vgl. hierzu besonders das vorstehende Referat und die dort genannte ausführliche Besprechung in F. d. M. 43, 312, 1912).
Auch hier handelt es sich um “Taubersche” Sätze. Diese haben unter ihren Voraussetzungen meist eine solche der Form \(a_n=O(n^{\alpha})\). Durch den kürzlich von Fejér entdeckten Satz (s. F. d. M. 44, 290, 1913), daß aus der Summierbarkeit einer Reihe \(\varSigma a_n\) zusammen mit der Konvergenz von \(\varSigma n| a_n|^2\) die Konvergenz von \(\varSigma a_n\) folgt, wird es nahegelegt, in die Tauberschen Sätze Voraussetzungen einzuführen, die sich auf die Konvergenz einer Reihe der Form \(\varSigma n^{\beta}| a_n|^{\gamma}\) bezieht. – Dies alles wird aber für Dirichletsche Reihen durchgeführt; ebenso werden einige ältere Sätze Tauberscher Art auf Dirichletsche Reihen übertragen. Aus den mannigfachen Resultaten nennen wir die folgenden:
1. Es sei \(\varSigma \left(\frac{\lambda_n}{\lambda_n- \lambda_{n-1}}\right)^p| a_n|^{p+1}\) konvergent und die (dann von selbst) für \(s>0\) konvergente Dirichletsche Reihe \(\varSigma a_ne^{-\lambda_ns}=f(s)\) strebe für \(s\to 0\) gegen den Grenzwert \(A\). Dann ist \(\varSigma a_n\) konvergent und hat die Summe \(A\).
2. Sind \(\varSigma a_n\)und \(\varSigma b_n\) konvergent mit der Summe \(A\) bzw. \(B\) und konvergieren die beiden Reihen \[ \varSigma \left( \frac{\lambda_n}{\lambda_n-\lambda_{n-1}} \right)^p| a_n|^{p+1}\;{\text{und}}\;\varSigma \left( \frac{\lambda_n}{\lambda_n-\lambda_{n-1}}\right)^p| b_n|^{p+1}, \] so dürfen die Reihen \(\varSigma a_n\) und \(\varSigma b_n\) nach der den Exponenten \(\lambda_n\) entsprechenden Dirichletschen Regel miteinander multipliziert werden.
3. Ist \(\varSigma a_n\) summierbar \((C,k)\) und \(\varSigma n^p| a_n|^{p+1}\) konvergent, so ist \(\varSigma a_n\) sogar summierbar \((C,k')\) für jedes \(k'>-\frac{p}{p+1}\). – Endlich wird noch der erheblich tiefer gelegene Satz gefördert:
4. In der für \(s>0\) konvergenten Dirichletschen Reihe \(f(s)=\varSigma a_ne^{-\lambda_ns}\) strebe \(\frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_n}\to 1\), es sei \(a_n\geqq 0\) und bei \(s\to 0\) sei \(f(s)\sim As^{-\alpha}\;(A>0,\;\alpha\geqq 0)\). Dann ist für \(n\to\infty\) \[ A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\sim \frac{A}{\varGamma(\alpha+1)}\;\lambda_n^{\alpha}. \] (Vgl. besonders hierzu das vorstehende Referat.)