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Sur l’intégrale de Lebesgue. (French) JFM 45.0441.06

Die vorliegende umfangreiche Abhandlung gibt einen Teil der Vorlesungen des Verf. An der Harvard Universität in dem zweiten Semester des Studienjahres 1914/15 wieder. Sie enthält neben einer gedrängten Darstellung bekannter Resultate eine Reihe neuer Ergebnisse. Auch die bekannten Sätze werden meist auf einem dem Verf. eigentümlichen Wege abgeleitet. Die Arbeit gliedert sich in zwölf Abschnitte. Der erste enthält die wichtigsten Bestimmungen über die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Ermittelung der Grenzmengen linearer beschränkter Punktmengen, sowie über das Lebesguesche Inhaltsmaß. In dem zweiten Abschnitte werden die nach Borel meßbaren Mengen betrachtet und in Klassen geordnet. Diese Einordnung erweist sich der Borelschen Klassifikation unstetiger Funktionen nahe verwandt. In dem nächstfolgenden Abschnitte werden die Begriffe der (schlechthin, sowie nach Borel) meßbaren Funktionen, sowie des Lebesgueschen Integrals eingeführt. Bei der Erklärung des Integrals einer nicht beschränkten Funktion geht der Verf. dabei zum Teil eigene Wege. Sodann werden mit Vitali Kriterien für die Zulässigkeit einer Vertauschung der Reihenfolge eines Grenzüberganges und der Integration bei nicht beschränkten Funktionen abgeleitet. Eine wesentliche Rolle spielt hierbei der Vitalische Begriff der absoluten und gleichmäßigen Stetigkeit. Einige der an dieser Stelle mitgeteilten Sätze sind neu. An diese Betrachtungen schließt sich in dem fünften Abschnitte eine Theorie der (eindimensionalen) additiven und absolut stetigen Mengenfunktionen (a. a. s. M.) \(F(e)\) (genauer, Funktionen der im Lebesgueschen Sinne meßbaren Punktmengen):
Es gilt: 1. \(F(e)=\sum_nF(e_n)\), wenn \(e=\sum_ne_n\) (die endlich oder abzählbar unendlich vielen Mengen \(e_n\) haben keine Punkte gemeinsam). 2. \(\lim F(e)=0\), wenn das Maß von \(e\) gegen Null konvergiert.
Der Hauptinhalt des Abschnittes 5:
Erklärung der a. a. s. M., die vier Derivierten, die Abhängigkeit zwischen dem Vorzeichen der Funktion und ihrer Derivierten, Dichte einer Punktmenge, Ableitung eines unbestimmten Integrals, der Hauptsatz: eine a. a. s. M. Ist das unbestimme Integral jeder ihrer vier Derivierten.
Es sei \(f(x)\) eine im einem Intervalle \((a,b)\) stetige Funktion. Sie heißt absolut stetig, wenn \(\varSigma(f(\alpha)-(\beta))\), erstreckt über eine endliche Anzahl einander nicht überdeckender Teilintervalle \((\alpha,\beta)\;(\alpha\gtrless\beta)\) in \((a,b)\), mit dem Maß der Menge \(\varSigma(\alpha,\beta)\) zugleich gegen Null konvergiert. In dem 6. Abschnitt wird bewiesen, daß es eine a. a. s. M. gibt, die in allen aus endlich vielen Intervallen bestehenden Mengen in \((a,b)\) mit \(\varSigma(f(\alpha)-(\beta))\) übereinstimmt. Es gilt \(f(x)-f(a)=\int_a^x\wedge dx\), unter \(\wedge\) irgendeine der vier Derivierten von \(f(x)\) verstaden.
Der siebente Abschnitt bringt neben einer Reihe weiterer Eigenschaften absolut stetiger Funktionen, Sätze über die Vertauschung der Integrationsvariabeln bei beschränkten und nicht beschränkten Funktionen. Der Abschnitt 8 beschäftigt sich mit stetigen additiven Mengenfunktionen \((B)f(e)\) (genauer, Funktionen beschränkter, im Borelschen Sinne meßbarer Punktmengen). Es gilt definitionsgemäß: \(1^{\circ}f(e)=\sum_nf(e_n)\), sobald \(e=\varSigma e_n\), die Summe über eine endliche oder abzählbar unendliche Anzahl von Menge \(e_n\) ohne gemeinsame Punkte erstreckt gedacht, 2. \(\lim F(e)=0\), wenn der Durchmesser der Menge \(e\) gegen Null konvergiert. Es gilt, wenn man mit \(E\) die Menge der Punkte bezeichnet, in denen \(f(e)\) eine bestimmt unendliche Ableitung hat,(ensemble des singularités), \(f(e)=f(eE)+\int\wedge dx\), unter \(eE\) den Durchschnitt der Mengen \(e\) und \(E\), unter \(\wedge\) irgendeine der vier Derivierten von \(f(e)\) verstanden. Enthält \(E\) keinen perfekten Bestandteil, so ist \(f(e)\) in \((a,b)\) absolut stetig. Es sei \(f(x)\) eine in \((a,b)\) erklärte stetige Funktion mit beschränkter Schwankung. In dem 9. Abschnitte wird u. a. gezeigt, daß es eine stetige, additive Mengenfunktion \((B)\) gibt, die auf einer jeden aus endlich vielen einander nicht überdeckender Intervalle bestehenden Menge \(\Sigma(\alpha,\beta)\) mit \(\varSigma(f(\beta)-f(\alpha))\) übereinstimmt.
Die drei letzten Abschnitte der Arbeit beschäftigen sich mit zweidimensionalen Punktmengen. Der 10. Abschnitt enthält eine Theorie der stetigen additiven Mengenfunktionen, der elfte eine Theorie der Funktionen mit beschränkter Schwankung zweiter Variabeln, der letzte, 12. Abschnitt, Sätze über die Transformation von Variablen bei Doppelintegralen.

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