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3. Sur l’équivalence absolue de certains systèmes d’équations différentielles et sur certaines familles de courbes. (French) JFM 45.0472.04

In einer kürzlich erschienenen Arbeit (J. Für Math. 143, 300; F. d. M. 44, 386, 1913) verallgemeinert Zervos einen Beweis von Hilbert für die Unmöglichkeit der Auflösung der unbestimmten Gleichung \(\frac{dz}{dx}=(\frac{d^2y}{dx^2})^2\) durch Formeln von der Form \[ (D)\quad x=\varphi(t,w,w_1\dots,w_r),\quad y=\psi(t,w,w_1\dots,w_r),\quad z=\chi(t,w,w_1\dots,w_r), \] worin \(t\) einen willkürlichen Parameter, \(w\) eine willkürliche Funktion von \(t\) und \(w_1\dots,w_r\) ihre sukzessiven Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung bedeuten. Diese Frage steht im Zusammenhange mit dem allgemeinen Problem der Lösung eines Mongeschen Systems: \[ F_i(x_1\dots,x_r,\;\frac{dx_2}{dx_1}\dots,\frac{dx_r}{dx_1})=0\quad (i=1,2\dots,r-2) \] Goursat hat dieses Problem behandelt (S. M. F. Bull. 33, 201; F. d. M. 36, 421, 1905) und gewisse Fälle angegeben, in denen es durch Formeln von der Form (D) gelöst werden kann. – Es ist nun möglich, die notwendige und hinreichende Bedingung dafür anzugeben, daß die allgemeine Lösung eines Systems von Differentialgleichungen, falls sie von einer willkürlichen Funktion eines Argumentes abhängt, die Form (D) besitze, worin die rechten Seiten noch eine endliche Anzahl willkürlicher Konstanten enthalten können. Um diese Bedingung aufzustellen, ersetzt Verf. das gegebene Differentialsystem – was immer möglich ist – durch ein System \(S\) von \(n\) Pfaffschen Gleichungen \(\omega_1=0,\omega_2=0\dots,\omega_n=0\) mit \(n+2\) Veränderlichen, von denen \(n+1\) als unbekante Funktionen der letzten betrachtet werden. Das “abgeleitete System” \(S'\) von \(S\) wird von den Gleichungen \(\lambda_1\omega_1+\lambda_2\omega_2+\cdots +\lambda_n\omega_n=0\) gebildet, für welche der bilineare Differentialausdruck \(\lambda_1(d\omega_1^{\delta}\delta\omega_1^d)+\cdots+\lambda_n(d\omega_n^{\delta}-\delta\omega_1^d)\) bei Bestehen der Gleichungen \(\omega_i^d=0,\;\omega_i^{\delta}=0\;(i=1,2,\dots,n)\) verschwindet. Das System \(S'\) ist mit \(S\) nur dann identisch, wenn dieses vollständig integrabel ist; im allgemeinen ist die “Ordnung” von \(S'\) (die Zahl der linear unabhängigen Gleichungen) kleiner als die von \(S\). Damit nun die allgemeine Lösung des Systems \(S\) von der Ordnung \(n\) mit \(n+2\) Veränderlichen, von denen eine unabhängig und \(n+1\) abhängig sind, von der Form (D) sei, ist notwendig und hinreichend, daß die Ordnung jedes der sukzessiven ableiteten Systeme \(S',S''\dots \) höchstens um eins kleiner ist als die Ordnung des vorhergehenden Systems.
Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, so sei \(S^{n- \varrho}\) das erste abgeleitete System, dessen Ordnung um zwei größer ist, als die des folgenden Systems \(S^{n-\varrho+1}\), die Zahl \(\varrho\), welche mindestens gleich 2 ist, nennt Verf. die “Klasse” des Systems \(S\). Sind nun zwei Systeme \(S\) und \(S'\) von verschiedenen Klassen \(\varrho\) und \(\varrho'\) (\(\varrho'>\varrho\)), so ist es unmöglich, die allgemeine Lösung von \(S'\) durch Formeln auszudrücken, die in bestimmter Weise von einer beliebigen Lösung von \(S\) abhängen. Sind die beiden Klassen gleich, so ist dies nur möglich, wenn die beiden entsprechenden abgeleiteten Systeme von der Ordnung \(\varrho+1\), deren jedes sich mittels \(\varrho+3\) Veränderlicher ausdrücken läßt, durch eine Vertauschung der Veränderlichen ineinander transformierbar sind; alsdann läßt auch die allgemeine Lösung von \(S\) sich ihrerseits durch Formeln ausdrücken, die in bestimmter Weise von einer beliebigen Lösung von \(S'\) abhängen: d. h. die beiden Systeme sind äquivalent. Damit ist das allgemeine Problem der absoluten Äquivalenz der Differentialsysteme für den Fall gelöst, daß die allgemeine Lösung von einer willkürlichen Funktion eines Argumentes abhängt. – Die Äquivalenz der Systeme dreier Pfaffschen Gleichungen mit fünf Veränderlichen \((\varrho=2)\) hat Verf. bereits früher behandelt (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 27, 109; F. d. M. 41, 417, 1910), Die Hilbertsche Gleichung entspricht dem einfachsten Falle: das entsprechende System läßt eine Gruppe von Punkttransformationen mit 14 Parametern zu.
Im zweiten Teile der dritten Arbeit bestimmt Verf. alle Differentialsysteme, deren allgemeine Lösung die Form \((D)\) hat, die man durch eine vorgegebene Beziehung zwischen der Krümmung und der Torsion einer Raumkurve oder zwischen der Krümmung, der Torsion und der Ableitung der Krümmung in bezug auf den Bogen erhält. Im ersten Falle findet man nur diejenigen Kurven, für welche das Verhältnis der Torsion zur Krümmung einen gegebenen Wert hat. Im zweiten Falle findet man außer den auf einer Kugel von gegebenem konstantem Radius gezogenen Kurven drei neue, übrigens imaginäre Kurvenfamilien, die sich durch einfache Erzeugungen aus den Minimalkurven herleiten lassen. Zum Schluß löst Verf. für den Fall einer Beziehung zwischen Krümmung und Torsion dasselbe Problem in der elliptischen nichteuklidischen Geometrie: außer der Familie der ebenen Kurven findet man Kurven, die bei der Cayleyschen Interpretation der elliptischen Geometrie Trajektorien (unter konstantem Cayleyschen Winkel) derjenigen Geraden sind, welche zwei feste konjugierte imaginäre Erzeugende der Fundamentalfläche zweiter Ordnung treffen; der Fall des rechten Winkels ergibt die Kurven, deren Torsion gleich der Quadratwurzel aus der Krümmung des elliptischen Raumes ist und die auch als die Kurven eines gewissen linearen Komplexes definiert werden können.

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