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Laplacesche Integrale als Lösungen von Funktionalgleichungen. (German) JFM 45.0534.03
Seiner in einer früheren Arbeit (J. F. Math. 144, 167) auf gewisse nichtlineare Differentialgleichungen angewandten Methode folgend, führt Verf. die Laplacesche Integraltransformation für die nichtlineare Differenzengleichung \[ (1)\quad y(x+1)=ay(x)+f(\tfrac{1}{x},y(x))\quad (a\neq 1) \] und die lineare Integralgleichung \[ (2)\quad x^2\;\frac{d\varphi(x)}{dx}+(1- ax)\varphi(x)=\int_0^xF(x,y)\varphi(y)dy+G(x), \] auf die sich bekanntlich die Volterrasche Integralgleichung erster Art. In gewissen Fällen reduzieren läßt, durch. So entsteht für die Laplacesche Transformierte im ersten Falle eine nichtlineare, im zweite einer lineare Volterrasche Integralgleichung, deren Lösungen durch eine in der passend aufgeschnittenen \(t\)-Ebene konvergierende Reihe gegeben wird. Die mit ihnen gebildeten Laplaceschen Integrale konvergieren in einer Halbebene bzw. einem Kreise der \(x\)-Ebene und summieren in Borels Sinne die im allgemeinen divergenten nach Potenzen von \(\frac{1}{x}\) bzw. \(x\) fortschreitenden, der Gleichung (1) bzw. (2) formal genügenden Reihen.

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Full Text: Crelle EuDML