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Sur l’intégration des équations aux dérivées fonctionelles partielles. (French) JFM 45.0548.01

Die Gleichungen, deren Untersuchung den Gegenstand der vorliegenden Arbeit bildet, können durch einen Grenzübergang erhalten werden, indem man von gewissen Systemen partieller Differentialgleichungen ausgeht. Ein System von \(n\) partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung für eine Funktion \(\varphi\) von \(n\) unabhängigen Veränderlichen \(x_1, x_2, \dots, x_n\) gestattet, alle ersten Ableitungen von \(\varphi\) durch \(\varphi, x_1, \dots, x_n\) auszudrücken, so daß die Variation von \(\varphi\), wenn man von einen gegebenen Anfangswert ausgeht, durch die Formel \[ (1)\quad \delta\varphi=\sum_{i=1}^{i=n}\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}\delta x_i \] bestimmt wird, worin das zweite Glied vollständig bekannt ist. Daher ist ein Integral des betrachteten Systems durch seinen Wert für ein System von Anfangswerten der unabhängigen Veränderlichen (ausgenommen vielleicht für gewisse Systeme singulärer Werte von \(\varphi, x_1, \dots, x_n\)) vollständig bestimmt. Aber es ist wohl bekannt, daß das betrachtete Integral im allgemeinen nicht existiert, da der Ausdruck (1) i. a. Kein exaktes Differential ist; die Bedingungen dafür, daß er es sei, heißen bekanntlich die “Integrabilitätsbedingungen” des Systems. Wenn sie identisch erfüllt sind, heißt das System “vollständig” oder “vollständig integrabel” und besitzt Lösungen, die von einem willkürlichen Parameter abhängen; andernfalls existiert i. a. überhaupt keine Lösung und jedenfalls keine, die von einem willkürlichen Parameter abhängt.
Analoge Verhältnisse liegen nun vor, wenn man eine Größe \(\varphi\) betrachtet, welche von allen Werten einer Funktion \(x(t)\) abhängt, wenn \(t\) in einen bestimmten Intervall, z. B. Von 0 bis 1, variiert. Man nennt eine solche Größe ein “Funktional” von \(x\); sie hat für jede Bestimmung der Funktion \(x(t)\) einen wohl bestimmten Wert. Es wird vorausgesetzt, daß die Variation von \(\varphi\) durch eine Formel von der Form \[ (2)\quad \delta\varphi=\int_0^1\varphi_x'(t)\delta_xdt, \] welche die Formel (1) verallgemeinert, darstellbar ist und daß die Größe \(\varphi_x'(t)\) welche Volterra die “Funktionalen Ableitung” von \(\varphi\) nennt, durch eine Gleichung mit funktionalen Ableitungen erster Ordnung bestimmt ist, nach Volterras Bezeichnung: \[ (3)\quad \varphi_x'(t)=F|[x(t),\varphi,t]|. \] Aber der Ausdruck (2) ist im Allgemeinen kein exaktes Differential; um zu erkennen, ob. Die Gleichung (3) Lösungen besitzt, muß man wieder Integrabilitätsbedingungen aufstellen. Wenn diese identisch erfüllt sind, so heißt die Gleichung (3) “vollständig integrabel” und besitzt Lösungen, die von einem willkürlichen Parameter abhängen; andernfalls existiert i. a. überhaupt keine Lösung und jedenfalls keine, die von einem willkürlichen Parameter abhängt. Verf. hat bereits früher (Thèse, Paris, Nr. 1436 (1911), 1-120; Palermo Rend. 33, 281-312, 1912) die Wichtigkeit des Integrabilitätsbegriffes im funktionalen Kalkül hervorgehoben und gezeigt, wie die Integrabilitätsbedingungen zu bilden sind. Im Hinblick auf die Anwendung der gewonnenen Resultate auf besondere Gleichungen hat er damals den geometrischen Standpunkt eingenommen, indem er anstelle des Begriffs des “Funktionals” den der “Funktion einer ebenen Kurve” setzte, und Bezeichungen angewendet, die nicht für alle Anwendungen bequem sind. – In der Einleitung der vorliegenden Arbeit gibt er daher den früher gewonnenen Resultaten eine andere Form; außerdem wiederholt er dort einige Resultate seiner These und macht einige für das Folgende nützliche Bemerkungen. Der Hauptzweck dieser Abhandlung ist aber die Untersuchung der Gleichungen mit partiellen funktionalen Ableitungen, d. h. Des Falles, wo die betrachteten Größen von mehreren willkürlichen Funktionen abhängen. Verf. betrachtet hauptsächlich die Funktional, welches bereits die wesentlichen Charaktere dieses Gleichungstypus erkennen läßt. – Im ersten Kapitel untersucht er die Integrabilitätsbedingungen dieser Gleichungen und wendet die gewonnenen Resultate auf eine wichtige Klasse von Gleichungen der mathematischen Physik an, deren eine bereits von Volterra betrachtet worden ist und den Verf. zu seinen Untersuchungen veranlaßt hat. Alle Gleichungen dieser Klasse sind vollständig integrabel, ein Ergebnis, das zunächst überrascht, aber durch die näheren Umstände des Beweises vollständig erklärt. Wird. – Im zweiten Kapitel wird die Integration der vollständig integrablen Gleichungen mit partiellen funktionalen Ableitungen durchgeführt; die gewonnenen Resultate verallgemeinern die Hauptergebnisse Cauchys über die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Das allgemeine Problem der Integration wird auf die Bestimmung einer Kategorie von Charakteristiken zurückgeführt, welche durch Gleichungen definiert werden, die denen Cauchys analog sind; der Begriff des vollständigen Integrals wird gleichfalls verallgemeinert. Den Schluß bildet die Anwendung auf eine besondere, bereits im ersten Kapitel betrachtete Klasse von Gleichungen; für diese läßt sich die Bestimmung der Charakteristiken leicht ausführen, so daß man das allgemeine Integral erhält. – Die Hauptergebnisse dieser Arbeit hat Verf. in den C. R 156, 1913, 1515-1517, 1658-1660 angegeben.

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References:

[1] G. Andreoli,Sulle equazioni integrali [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, vol. XXII, 1{\(\deg\)} semestre 1913, pp. 776–781]. · JFM 44.0415.02
[2] T. Lalesco,Sur une équation integrale du type Volterra [Comptes rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences (Paris), t. CLII (1er semestre 1911), pp. 579–580].
[3] V. Volterra,Leçons sur les équations intégrales et les équations intigro-différentielles (Paris, Gauthier-Villars, 1913), p. 141.
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