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Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique (suite). (French) JFM 45.0571.03

Die vorliegende Fortsetzung (die drei ersten Kapitel findet man im Journ. de Math. (6) 9, 305; F. d. M. 44, 431, 1913) bringt im vierten Kapitel zuerst die vom Verf. sogenannten singulären Gleichungen der Form \[ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}+a\;\frac{\partial z}{\partial x}+b\;\frac{\partial z}{\partial y}+cz+f=0. \] bei denen \(b\) in dem Gebiet, in welchem die Lösung gebildet werden soll, mit oder ohne Zeichenwechsel verschwindet. Je nachdem, ob sie “singuläre Linie” längs der \(b\) verschwindet, eine beliebige oder eine charakteristische Linie ist, erhält man die beiden Typen \[ \begin{aligned} & \frac{\partial^2z}{\partial x^2}-x^p\frac{\partial z}{\partial y}+a\frac{\partial z}{\partial x}=cz+f,\\ & \frac{\partial^2z}{\partial x^2}-\varepsilon y^p\frac{\partial z}{\partial y}+a\frac{\partial z}{\partial x}=cz+f,\;{\text{wo}}\;\varepsilon=\pm 1\;{\text{bedeutet}}.\end{aligned} \] Bei der Bildung einer Fundamentallösung zeigt sich im ersten Falle ein Unterschied, je nachdem \(p\) gerade oder ungerade ist. Bei geradem \(p\) entspricht die Lösung der bei der Wärmeleitungsgleichung \(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial z}{\partial y}\); wenn \(p\) ungerade ist, wird man auf die Lösung einer Fredholmschen Gleichung erster Art geführt. Die Bildung der Fundamentallösungen gelingt auch beim zweiten Typus leicht. Im fünften Kapitel wendet Verf. die Methode von Hadamard zur Bildung der Fundamentallösungen linearer Gleichungen an. Die Lösung gelingt bei einer beliebigen Anzahl von Variablen für alle Gleichungen von der Form \[ \sum_{i=1}^n\;\frac{\partial^2z}{\partial x_i^2}- \frac{\partial z}{\partial y}=\sum_{i=1}^na_i\;\frac{\partial z}{\partial x_i}+cz. \]

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Full Text: EuDML