×

zbMATH — the first resource for mathematics

The minimum of a definite integral for unilateral variations in space. (English) JFM 45.0605.03
Es wird das räumliche Variationsproblem bei vorgeschriebenen Endpunkten mit einer Schrankenbedingung behandelt, die von den zulässigen Kurven verlangt, daß sie auf einer Seite einer gegebenen Fläche verbleiben. Bekanntlich muß die Lösungkurve, soweit sie nicht auf der Schrankenfläche liegt, eine Extremale im gewöhnlichen Sinne sein (eine “Raumextremale”), wo sie auf der Fläche liegt, muß sie Extremale unseres Integrales mit der Gleichung dieser Fläche als Nebenbedingung sein (eine “Flächenextremale”), wo sie die Fläche trifft, muß sie sie berühren. Es wird nun insbesondere eine Lösungskurve untersucht, die sich zusammensetzt aus einem Bogen 01 einer Raumextremale, einem Bogen 12 einer Flächenextremale und noch eineem Bogen 23 einer Raumextremale. Enthält der Bogen 01 den zu 0 konjugierten Punkt nicht, so gibt es in der von 0 ausstrahlenden zweiparametrigen Schar von Raumextremalen eine einparametrige, die ebenso wie 01 die Schrankenfläche berührt. Vom Berührungspunkte jeder dieser Raumextremalen mit der Schrankenfläche geht eine und nur eine Flächenextremale aus, die im Berührungspunkte gleiche Richtung mit der Raumextremale hat; man erhält so eine einparametrige Schar von Flächenextremalen. Endlich geht von jedem Punkte einer solchen Flächenextremale wieder einer und nur einer sie berührende Raumextremale aus, was einer zweiparametrige Schar von Raumextremalen liefert. Die Jacobische Bedingung lautet nun hier: der Bogen 12 darf mit der einhüllenden Kurve der genannten einparametrigen Schar von Flächenextremalen keinen Punkt gemein haben, der Bogen 23 darf mit der einhüllenden Fläche der genannten zweiparametrigen Schar von Raumextremalen keinen Punkt gemein haben. Ist diese Bedingung erfüllt, so bilden diese beiden Extremalenscharen, zusammen mit der vom Punkte 0 ausstrahlenden zweiparametrigen Schar von Raumextremalen ein Feld des Extremalenbogens 0123, das in der üblichen Weise zum Nachweise eines starken Extremums verwendet werden kann.
Reviewer: Hahn, Prof. (Wien)

Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI