Sur une classe de séries de Taylor. (French) JFM 45.0645.01

Carlson, F.

Thèse. Upsala: K. W. Appelberg. 76 S. \(8^\circ\) (1914).

Umfassende Untersuchung über die analytische Fortsetzung solcher Taylorschen Reihen, in denen der Koeffizient von \(x^n\) eine analytische Funktion von \(n\) ist. Als wesentlichstes Hilfsmittel dient, nach Vorgang von Lindelöf, die Residuenrechnung. Verschiedene diesbezügliche Resultat von Le Roy, Wigert, Faber, Pringsheim, Lindelöf usw, sind in den einheitliche Methode abgeleiteten sehr allgemeinen Sätzen als Spezialfäl halten.
Es sei \(f (x) = a_0+ a_1x + a_2 x^2+ a_3 x^3 + \cdots.\) Es kann auf eindeutige Weise eine analytische Funktion \(\varphi(z)\) bestimmt werden, die die Gleichungen \[ \varphi (0) = a_0, \varphi (1) = a_1, \varphi (2) = a_2, \dots, \varphi (n) = a_n, \dots \] erfüllt, derart, daßfür gewisse Eigenschaften von \(f (x)\) in bezug auf Fortsetzbarkeit und Anwachsen entsprechende Eigenschaften von \(\varphi (z)\) die notwendigen und hinreichenden Bedingungen bilden. Etwas näher gesagt: daß\(f (x)\) im Innern einer Kurve \(\varSigma\) von einem gewissen Typus regulär sei, und, falls diese Kurve \(\varSigma\) sich ins Unendliche erstreckt, \(f (x)\) im Innern von \(\varSigma\) nicht stärker als eine gewisse Potenz von \(x\) anwachsen soll, dafür ist notwendig und hinreichend, daß\(\varphi (z)\) in der Halbebene \({\mathfrak R}z\geqq 0\) regulär sei (bzw. daß\(\varphi (z)\) eine ganze Funktion sei), und einer Ungleichung von der Form \(| \varphi (\varrho e^{i\psi})| \leqq Ce^{\varrho (\lambda (\psi) + \varepsilon )}\) genüge (\(\varepsilon\) beliebig klein zu wählende positive Zahl, \(C\) nur von \(\varepsilon,\) nicht aber von \(\varrho\) und \(\psi\) abhängig); \(\lambda(\psi)\) ist eine Funktion von \(\psi,\) die mit der Gleichung der Kurve \(\varSigma\) durch einfache Formeln verknüpft ist.
Die Untersuchung knüpft an die Integrale \[ f (x) = \int \frac {\varphi (z) x^z dz}{e^{2\pi iz} -1}, \quad \varphi (z) =\frac 1{2\pi i} \int \frac {f(x) dx}{x^{1+z}} \] an. Die Eineindeutigkeit der Zuordnung zwischen \(f (x)\) und \(\varphi (z)\) beruht auf einem allgemeinen Satze, dessen wichtigster Spezialfall so lautet: Ist eine Funktion \(\varphi (z)\) in der Halbebene \({\mathfrak R}(z) \geqq 0\) analytisch, ist daselbst \(| \varphi (z)| <\) konst. \(e^{A| z| },\) und ist insbesondere an der imaginären Achse \(| \varphi (z)| <\) konst. \(e^{\alpha | z| },\) wo \(0 < A < \infty, 0 < \alpha < \pi,\) so folgt aus den Gleichungen \(\varphi(1) = 0, \varphi (2) = 0, \varphi (3) = 0, \dots,\) daßidentisch \(\varphi (z) = 0.\) – Auf zahlreiche an und für sich wichtige Einzelheiten und Nebenuntersuchungen kann hier nicht eingegangen werden.

Reviewer: Polya, G., Prof. (Zürich)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.