×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über ganzwertige ganze Funktionen. (German) JFM 45.0655.02
Eine ganze Funktion \(g(x)\) heißt ganzwertig, wenn die Werte \(g(n)\) \((n=0, \pm 1, \pm 2, \dots )\) ganz und rational sind. Für das Wachstum einer solchen Funktion gelten Sätze, wie die folgenden. Es habe \(M(r)\) die übliche Bedeutung und es sei \[ \lim_{r=\infty}\;\frac {\log \log M (r)}{\log r} = \varrho \] (Wachstum von \(g(x)).\) Ist dann \(\varrho = 0,\) so reduziert sich \(g(x)\) notwendigerweise auf ein Polynom. Es tritt dies sogar ein, wenn \[ \lim_{r=\infty} \frac { r^{\frac 32} M (r) }{ \left( \frac {3+\sqrt 5}2 \right)^r } = 0 \] ist. (Die Konstante \(\frac {3+\sqrt 5}2\) kann dabei nicht verbessert werden. )
Es gibt also keine ganzwertige Funktion mit \(0 < \varrho < 1.\) Zu jedem \(\varrho \geqq 1\) läßt sich aber eine solche angeben; es können sogar ihre Werte \[ g (n) = y_n\quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots ) \] bis auf die Bedingung \[ \overline {\lim_{n=\infty}} \frac {\log \log | y_n| }{\log | n| }=\varrho \] beliebig vorgeschrieben werden.
Ist \(g(x)\) eine ganze Funktion und \(g(n)\) nur für nichtnegative ganzahlige \(n\) ganzwertig, so folgt aus \[ \lim_{r=\infty}\;\frac {r^{\frac 12} M(r) }{2^r} = 0, \] daß \(g(x)\) ein Polynom ist. – Die Funktion \(2^x\) hat somit das kleinstmögliche Wachstum unter allen solchen ganzen Funktionen.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Hurwitz,Ueber die angenäherte Darstellung der irrationalzahlen dutch rationale Brüche [Mathematische Annalen, Bd. XXXIX (1891), S. 279–284]. Encyklopàdie der mathematichen Wissenschaften, Bd. i, Teil II, S. 936. · JFM 23.0222.02
[2] Vgl. z.B. É. Borel,Leçons sur les fonctions méromorphes (Paris, Gauthier-Villars, 1903), S. 105–107.
[3] in der Abhandlung:Ueber einige Funktionentheoretische Anweniungen der Eulerschen Reihenr-Transformation. [Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie, 1912, S. 11-92], stellt HerrPringsheim, S. 43-45 aus dem Anlasse eines ganz verschiedenen Gegenstandes Rechnungen an, die zu einem andem, wenn auch etwas weniger bietenden Beweise des Satzes i. ausgestaltet werden können.
[4] Pringsheim, loc. cit. 3), S. 27–36, wo weitere Litteratur.
[5] Das wesentlichste geht aus den Untersuchungen des HerrnBorel, loc. cit. 2), S. 71-78 hervor.
[6] P. Stackel,Ueber arithmetische Eigenschaften analytischer Functionen [Mathematiche Annalen, Bd. XLVI, S. 513–520].
[7] Heine, Der Eisensteinsch &amp;Satz über Reihenentwicklungen algebraischer Funktionen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. XLV, S. 285–382].
[8] Borel, loc. cit., S. 32–38.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.