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Sur un principe général de l’analyse et ses applications à la théorie de la représentation conforme. (French) JFM 45.0665.02

Acta Soc. Fennicae 46, Nr. 4, 35 S. (1915).
In den vorliegenden Arbeiten schlägt der Verf. eine neue bemerkenswerte funktionentheoretische Behandlungsweise des Randes vor. Er geht von dem von ihm bereits früher vielfach mit Erfolg benutzten elementaren Satze aus: Es sei \(f (z)\) eine in einem einfach zusammenhängenden Gebiete \(T\) in einer schlichten Ebene reguläre Funktion. Sei \(z_0\) ein willkürlicher Punkt auf dem Rande \(S\) von \(T, \varepsilon\) eine beliebig kleine positive Zahl. Läßt sich \(\varepsilon\) und \(z_0\) ein Wert \(\nu (\varepsilon, z_0) > 0\) so zuordnen, daßfür alle \(z\) in \(T,\) die der Ungleichheit \(| z-z_0| < \nu (\varepsilon, z_0,)\) genügen, \(| f (z)| < M + \varepsilon\) ist, so ist in \(T\cdots | f (z)| \leqq M.\) Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn \(f (z)\) in \(T\) konstant ist.
Sei \(Z = Z (z)\) eine Funktion, durch deren Vermittelung \(T\) auf die Fläche des Einheitskreises \(| Z| < 1\) konform abgebildet wird. Sei \(q\) die Entfernung des Punktes \(z (0)\) von \(S, L\) der Durchmesser von \(T.\) Ist \(z\) ein Punkt in \(T\) und ist seine Entfernung von \(S\) kleiner als \(\varrho^* < q,\) so ist \[ (1) \qquad | 1-Z (z) | < \frac {2\log \frac Lq }{ \log \frac Lq + \log \frac L{\varrho^*} }. \] Dieser Satz stellt eine Verschärfung des Satzes \(\lim_{\varrho^*=0} | Z(z) | =1\) dar. Zum Beweise wird, wenn \(z = a\) ein Punkt \(P\) auf \(S\) ist, derjenige Teil der zu \(\log (z-a)\) gehörigen Riemannschen Fläche, der der Beziehung \(| z- a| \leqq L\) genügt, durch Vermittelung der Funktion \[ (2) \quad \bar Z (z) =\frac { \log \left( \frac {z-a}L e^{-i\beta} \right) + \log \frac Ld }{ \log \left( \frac {z-a}L e^{-i\beta} \right) - \log \frac Ld } \qquad (z(0) = a + de^{i\beta}) \] auf die Fläche \(K\) des Einheitskreises abgebildet. Das Gebiet \(T\) wird dabei auf ein Gebiet in \(K\) abgebildet. Es ist ferner \(| Z(a)| =1.\) Darch Anwendung des eingangs genannten Hilfssatzes auf \(\frac {bar Z(z)}{Z(z)}\) und einige einfache Umformungen gewinnt man die zu beweisende Beziehung. Unter Zuhilfenahme weiterer elementarer Hilfssätze zeigt sodann der Verf., daß, wenn \(Z = X+iY\) gesetzt wird, für alle hinreichend kleinen \(\varrho^* ( < q)\) die Schwankung \(\sigma\) der Funktion Arctang \(\frac YX\) in dem der Kreisfläche \(| z-a| < \varrho^*\) und \(T\) gemeinsamen Gebiete der Ungleichheit \[ (3) \qquad \sigma < 4 \text{ Arc tang } \sqrt { \frac { 2\log \frac Lq }{ \log \frac L{\varrho^*} }} \] genügt. Augenscheinlich ist \(\lim_{\varrho^* =} \sigma = 0.\) Aus den Ungleichheiten für \(| 1- Z(z)| \) und \(\sigma\) folgen nun nacheinander die Sätze:
Ist \(P\) ein erreichbarer Punkt von \(S,\) so entspricht einem in \(a\) mündenden Jordanschen Kurvenstücke \(\mathfrak S\) in \(T\) ein in einen bestimmten Punkt \(Z_a\) auf dem Rande \(C\) von \(K\) mündendes Jordansches Kurvenstück \(\mathfrak L\) in \(K.\) Im allgemeinen konvergiert \(z (Z)\) bei der Annäherung der Veränderlichen \(Z\) an \(Z_a\) in \(K\) nicht gegen einen bestimmten Wert. Die Gesamtheit der Häufungsstellen von \(z(Z)\) bildet ein Kontinuum (das sich jedoch auch auf einen Punkt reduzieren kann). Der Verf. zeigt, daßdieses Kontinuum ein Primende erster oder zweiter Art ist. Dabei entsprechen allen möglichen in \(Z_a\) mündenden Jordanschen Kurvenstücken im Innern des Winkelraumes \(\left| \text{arg}\frac {Z_a}{Z_a-Z}\right| \leqq \frac {\pi}2 - \varepsilon_0 (\varepsilon_0\) beliebig klein) in \(T\) nach \(a\) führende Jordansche Kurvenstücke. Sind \(a_1\) und \(a_2 \neq a_1\) zwei erreichbare Punkte auf \(S, {\mathfrak S}_1\) und \({\mathfrak S}_2\) nach \(a_1\) und \(a_2\) führende Jordansche Kurvenstücke in \(T,\) so münden \({\mathfrak L}_1\) und \({\mathfrak L}_2\) in zwei verschiedene Punkte von \(C\) ein. Ist \(T\) ein Jordansches Gebiet, so ist \(Z(z)\) in \(T\) und auf \(S\) stetig und ordnet Punkte auf \(S\) und \(C\) einander umkehrbar eindeutig zu. Bei einem beliebigen beschränkten, einfach zusammenhängenden Gebiete sind erreichbare Punkte \(z = a\) auf \(S\) und ihre Bilder \(Z_a\) auf \(C\) überall dicht verteilt. Einem jeden nicht zur Menge der \(Z_a\) gehörenden Punkte \({}^*Z\) auf \(C\) läßt sich wie vorhin durch die Gesamtheit der Häufungsstellen von \(z(Z)\) ein Kontinuum auf \(S\) zuordnen. Dieses ist ein Primende dritter oder vierter Art. Bleibt ein nach \({}^*Z\) führendes Jordansches Kurvenstück \({\mathfrak L}\) im Innern des Winkelraumes \(\left| \text{arg}\frac {{}^*Z}{{}^*Z-Z}\right| \leqq \frac {\pi}2 - \varepsilon_0 (\varepsilon_0\) beliebig klein), so umfaßt die Menge der Häufungsstellen von \(z(Z)\) auf \(\mathfrak L\), wie der Verf. zeigt, alle Hauptpunkte des \({}^*Z\) zugeordneten Primendes und keinen einzigen Nebenpunkt. Damit und durch den vorhin genannten Satz über die Primenden erster und zweiter Art wird insbesondere eine Studysche Vermutung als zutreffend erwiesen.

MSC:

30Cxx Geometric function theory