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On a set of postulates which suffice to define a number-plane. (English) JFM 45.0728.05

Es wird gezeigt, daßjede Ebene \(V,\) die den Veblenschen Axiomen I-VIII, XI seines Axiomensystems für die Geometrie (F. d. M. 36, 495 (JFM 36.0495.*), 1904) genügt, eine “Zahlenebene” ist, oder mit andern Worten ein System solcher stetigen Kurven enthält, daßin Ansehung dieser Kurven als gerader Linien die Ebene \(V\) eine gewöhnliche euklidische Ebene ist. Als Folge hiervon ergibt sich, daßjede Erörterung der Analysis Situs, die auf diesen Axiomen beruht (wie z. B. der Veblensche Beweis des Satzes, daßeine Jordansche Kurve ihre Ebene gerade in zwei Teile teilt; F. d. M. 36, 530 (JFM 36.0530.*),1905 u. 44, 626,1913) nicht allgemeiner ist, als eine auf analytischen Voraussetzungen beruhende. Dies widerspricht nicht der Tatsache, daßdie auf die Axiome I-VIII, XI gegründete Geometrie allgemeiner ist als die euklidische in dem Sinne, daßdie Kurven, in bezug auf welche die Ebene \(V\) euklidisch ist, nicht notwendig die in diesen Axiomen vorkommenden geraden Linien sind.
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