Die algebraischen Flächen vom Gesichtspunkte der birationalen Transformation aus. (German) JFM 45.0883.01

Castelnuovo, G.; Enriques, F.

Enz. d. Math. Wiss. III C 6 b, 674-768 (Band III 2, Heft 6) (1915).

Es handelt sich in diesem Artikel um die tiefere Theorie der algebraischen Flächen oder der algebraischen Funktionen von zwei Variabeln, die von Clebsch und M. Noether ihren Ausgang nimmt und in den Arbeiten von E. Picard einerseits, vieler italienischer Geometer andererseits zur hohen Blüte gelangt ist. Die. Arbeiten von H. W. E. Jung sind nur insofern berücksichtigt, als in der Einleitung des Artikels ein Verzeichnis der bei ihm vorkommenden Grundbegriffe und der entsprechenden Begriffe der geometrischen Theorie gegeben ist.
Inhaltsübersicht. I. Birationale Transformationen und lineare Kurvensysteme auf einer Fläche. 1. Birationale Transformationen. 2. Fundamentalelemente. 3. Reduktion der Singularitäten. 4. Ausgezeichnete Kurven. 5. Einteilung der algebraischen Flächen in Klassen. 6. Lineare Systeme von Kurven auf einer Fläche. 7. Transformation einer Fläche in Beziehung auf gegebene lineare Systeme. 8. Vollständige lineare Systeme. 9. Summe und Differenz der linearen Systeme. 10. Adjungierte und subadjungierte Flächen. II. Die Theorie der Invarianten. 11. Invariantentheorie nach M. Noether. 12. Einem linearen System adjungierte Kurven. 13. Invariantentheorie nach F. Enriquez. 14. Uber einige bemerkenswerte Ausdrücke numerischer Invarianten. 15. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei Flächen. III. Über die Ausdehnung des Riemann-Rochschen Theorems und über die kontinuierlichen nicht-linearen Kurvensysteme auf einer Fläche. 16. Charakteristische Schar eines linearen Systems. 17. Ausdehnung des Riemann-Rochschen Theorems. 18. Kontinuierliche nicht-lineare Kurvensysteme. 19. Die Mannigfaltigkeit von Picard, welche mit einer irregulären Fläche verknüpft ist. 20. Flächen mit einem irrationalen Kurvenbüschel, für welche \(p_a\) und \(p_g\) ungleich sind. 21. Äquivalente Kurven und Kurvensysteme auf einer Fläche. 22. Moduln einer Klasse von algebraischen Flächen. IV. Die Flächentheorie in Beziehung auf die Integrale, welche mit den Flächen verknüpft sind. 23. Mit einer Fläche verknüpfte Integrale. 24. Doppelintegrale erster Gattung: 25. Klassifikation der einfachen Integrale. 26. Einfache Integrale erster Gattung. 27. Einfache Integrale zweiter Gattung. 28. Die mit einer Fläche verknüpften einfachen Integrale und die Irregularität der Fläche. 29. Einfache Normalintegrale. 30. Das Abelsche Theorem. 31. Einfache Integrale dritter Gattung. 32. Über die Basis für die Kurvensysteme auf einer Fläche. 33. Doppelintegrale zweiter Gattung. V. Über gewisse Familien bemerkenswerter Flächen und über die Klassifikation der algebraischen Flächen. 34. Flächen mit einem Büschel rationaler Kurven. 35. Doppelebenen von Clebsch-Noether. 36. Die Rationalität einer Fläche als Folge der Existenz eines gewissen Kurvensystems auf der Fläche. 37. Rationalität der ebenen Involutionen. 38. Die rationalen und Regelflächen, charakterisiert nach den Werten des Geschlechts und der Mehrgeschlechter. 39. Flächen, welche eine kontinuierliche Schar automorpher birationaler Transformationen gestatten. 40. Hyperelliptische Flächen. 41. Flächen, welche diskontinuierlich unendlich viele automorphe birationale Transformationen gestatten. 42. Flächen vom Geschlecht 1. 43. Reguläre Flächen vom Geschlecht 0 und vom Doppelgeschlecht 1. 44. Flächen mit einer kanonischen oder mehrkanonischen Kurve der Ordnung 0. 45. Flächen vom linearen Geschlecht \(p^{(1)}=1\). 46. Über die Klassifikation der algebraischen Flächen. VI. Einige Bemerkungen über die Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen. 47. Über die Invarianten einer algebraischen Mannigfaltigkeit. 48. Einige die rationalen Mannigfaltigkeiten betreffende Fragen.

Reviewer: Ostrowski, Dr. (Hamburg)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. B. Theorie der algebraischen Raumkurven und Flächen.