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Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingen eines beliebig gestalteten elastischen Körpers. (German) JFM 45.1016.02

Das Problem der elastischen Eigenschwingungen eines isotropen Körpers von beliebiger Gestalt wird vom Verf. benutzt, um an ihm seine Methode Aufstellung des asymptotischen Verteilungsgesetzes der Schwingungzahlen der einfachen Form, welche sie schließlich angenommen hat, auseinander setzen. Es müssen zu diesem Zweck aber zunächst die Lösungen der statisischen Randwertprobleme der Elastizitätstheorie aufgestellt und die zu ihnen gehöriger Greenschen Funktionen diskutiert werden. Dreierlei Randbedingungen kommen in Betracht: I. die Verschiebung \(u = 0;\) II. \(\text{div\,}u = 0, u\) normal; III. der Druck \(= 0\). Die II. ist darum wichtig, weil sie nach dem Schema: elastischer Körper – Fresnels elastischer Äther – elektromagnetischer Äther die Verbindung der Elastizitätstheorie mit der Potentialtheorie herstellt. Die Randwertaufgaben werden mittels der Fredholmschen Methode auf lineare Integralgleichungen zurückgeführt; für die III. muß dabei eine Art “Antennen-Belegung” verwendet werden. Die mit etwaigen Nullösungen der Integralgleichungen verbundenen Schwierigkeiten werden durch einen einfachen Kunstgriff überwunden. – Der zweite Teil beschäftigt sich mit dem Spektrum der Eigenwerte, dessen Diskussion durch einige allgemeine, früher vom Verf. bewiesene Sätze über Integralgleichungen ermöglicht wird. Es gelten analog wie beim Membranproblem die folgenden exakten Spektrumsgesetze: Denkt man sich innerhalb des Körpers \(J\) irgendeine endliche Anzahl von Teilkörpern abgegrenzt, die gegenseitig nicht ineinander eindringen, so liegen unterhalb einer beliebigen Schranke mindestens ebenso viele zu \(J\) gehörige Eigenwerte (der elastischen Schwingungsgleichung mit der Randbedingung \(I),\) als die Gesamtzahl der zu den einzelnen Teilkörpern gehörigen Eigenwerte unter dieser Schranke beträgt. Die Anzahl der für die Randbedingungen II oder III möglichen Eigenschwingungen bis zu einer beliebigen Frequenzgrenze ist mindestens ebenso groß wie für I. Ist \(a\text{\,grad\,div\,} - b\text{\,rot\,rot}\) jener Ausdruck, der in der Elastizitätstheorie isotioper Medien an die Stelle des Potentialausdrucks \(\varDelta \) tritt, so lautet das asymptotische Spektralgesetz (und dies ist das eigentliche Ziel der Arbeit): Die Anzahl derjenigen Eigenschwingungen, welche ein beliebig gestalteter elastischer Körper vom Volumen \(J\) unter dem Oberflächendruck 0 auszuführen imstande ist, beträgt bis zur Frequenzgrenze \(\nu\) asymptotisch \(\frac J{6\pi^2}\, (a^{-3/2} + 2b^{-3/2})\nu^3.\)

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References:

[1] I. Fredholm,Solution {\(\deg\)}100B0;F;un probl{\(\deg\)}E8;me fondamental de la th{\(\deg\)}E9;orie de {\(\deg\)}13E;{\(\deg\)}E9;lasticit{\(\deg\)}E9; [Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, Bd. II (1906), No. 28, S. 1–8] ;G. Lauricella,Sul{\(\deg\)}13E;integrazione delle equazioni del{\(\deg\)}13E;equilibrio dei corpi elastici isotropi [Atti della Reale Accademia dei Lincei, Bd. XV, 1. Semester 106, S. 426-432];R. Marcolongo,La teoria delle equazioni integrali e le sue applicazioni alla Fisica-matematica [Ibid., Bd. XVI, 1. Semester 107, S. 742-749].
[2] A. Korn,{\(\deg\)}FC;ber die L{\(\deg\)}F2;sung der ersten Randwertaufgabe der Elastizit{\(\deg\)}E4;tstheorie [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XXX (2. Semester 1910), S. 138–152]. Ebendort sind die fr{\(\deg\)}FC;heren Abhandlungen Herrn Korns {\(\deg\)}FC;ber denselben Gegenstand zitiert. –T. Boggio,Nuova risoluzione di un problema fondamentale della teorìa del{\(\deg\)}13E;elasticit{\(\deg\)}E{\(\deg\)} [Atti della Reale Accademia dei Lincei, Bd. XVI, 2. Semester 1907, S. 248-255]. · JFM 41.0886.01
[3] 1. C. I).
[4] Vergi, hierzu die Bemerkungen von Herrn E. E. Levi,I problemi dei valori al contorno per le equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali [Memorie di Matematica e di Fisica della Societ{\(\deg\)}E{\(\deg\)}; Italiana delle Science (detta dei XL), Ser. III, Bd. XVI (1910), S. 3–112] S. 8 oben und Fussnote.
[5] T. BoGGio,Determinazione della deformazione di un corpo elastico per date tensioni superficiali [Atti della Reale Accademia dei Lincei, Bd. XVI, 2. Semester 1907, S. 441–449]. · JFM 38.0813.03
[6] Diliasymptotische Vtrteilungsgesetz linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung) [Mathematische Annalen, Bd. LXXI (1912), S. 441–479]; b{\(\deg\)}DC;ber die Abh{\(\deg\)}E4;ngigkeit der Eigenschuiingungen einer Membran von deren Begrenyung [Journal f{\(\deg\)}FC;r die reine und angewandte Mathematik, Bd. CXLI (1912), S. 1–11] ;c) Uber das Spektrum der Hohlraumstrahlung [Ibid., Bd. CXLI (1912), S. 163–181];d) {\(\deg\)}FC;ber die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spektralgesetze [Ibid., Bd. CXLIII (1913), S. 177–202].
[7] P. Debye in seiner bekannten Arbeit:Zur Th{\(\deg\)}E9;orie der spe{\(\deg\)}E7;ifischen W{\(\deg\)}E4;rmen [Annalen der Physik, IV. Folge, Bd. XXXIX (1912), S. 789–839]. · JFM 43.1037.02
[8] H. A. Lorentz hat in dem vierten seiner auf Einladung der WoLFSKEHL-Stiftung im April 1910 zu Gottingen gehaltenen Vortr{\(\deg\)}E4;ge die Mathematiker aufgefordert, sich mit diesem Problem zu besch{\(\deg\)}E4;ftigen.
[9] F{\(\deg\)}FC;r den Vektor-Kalk{\(\deg\)}FC;l benutze ich die in der Enzyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften verwendeten Bezeichnungen ; insbesondere bedeutet die eckige Klamme das vektorielle Produkt.
[10] Dar{\(\deg\)}FC;ber, dass bei nat{\(\deg\)}FC;rlicher Interpretation des Operators A die Funktion (3) der Gleichung {\(\deg\)}394;u = – 4 {\(\deg\)}3C{\(\deg\)};f geniigt, eine wie beschaffene stetige Funktionf auch sein mag, vergi, meine Bemerkungen in der Arbeit 7) d); pag. I82, Fussnote.
[11] o394* II = - 4C{\(\deg\)};f f{\(\deg\)}FC;r den ganzen unendlichen Raum zu integrieren, sondern im Innern eines endlichen K{\(\deg\)}F6;rpersJ, wenn an dessen Oberfl{\(\deg\)}E4;che eine der drei in der Einleitung aufgez{\(\deg\)}E4;hlten Randbedingungen vorgeschrieben ist. Wir beginnen mit der ersten : u = o an der Oberfl{\(\deg\)}E4;che,
[12] I. c. I).
[13] Cerruti,Ricerche intorno al{\(\deg\)}13E;equilibrio dei corpi elastici isotropi [Atti della R. Accademia dei Lincei (Roma), Ser. III: Memorie della classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Bd. XIII (1882), S. 81–123].
[14] 1. c. I).
[15] Vgl. zu unserer Argumentation auch E. E. Levi, 1. c. 4), S. 11–14, und Hilbert,Grundz{\(\deg\)}FC;ge einer allgemeinen Th{\(\deg\)}E9;orie der linearen Integralgìeichungen (Leipzig, B. G. Teubner, 1912), S. 227–232. 16) 1stJ von h+I Fl{\(\deg\)}E4;chen begrenzt, so hat das homog{\(\deg\)}E8;ne Problem genauh linear unabh{\(\deg\)}E4;ngige L{\(\deg\)}F6;sungen. Vergi. Weyl, 1. c. 7)d), S. 184 und S. 188 ff.
[16] 1. C. 13).
[17] Der absolute Betrag |A| eines Tensors A ist die Wurzel aus der Quadratsumme seiner neun Komponenten.
[18] Diese Ungleichung bringt zum Ausdruck, dass A nur dann unendlich werden kann, wennp undp 1 gegen denselben Randpunkt vonJ konvergieren; sie ist, wie ich glaube, die nat{\(\deg\)}FC;rliche und zugleich sch{\(\deg\)}E4;rfste Absch{\(\deg\)}E4;tzung, die sich in dieser Hinsicht f{\(\deg\)}FC;r dieGREENschen Kompensatrizen aufstellen l{\(\deg\)}E{\(\deg\)};sst.
[19] Und das Ueberstreichen wieder die Resolventenbildung bedeutet.
[20] Wir denken uns stillschweigend (ohne die Bezeichnung zu {\(\deg\)}E4;ndern) alle in Kap. I auftretenden GREEN’schen Tensoren und Funktionen mit dem Faktor I/403C{\(\deg\)};—- ausgestattet.
[21] Weyl, 1. c. 7)d), S. 196–199.
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