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On the field of a single centre in Einstein’s theory of gravitation. (English) JFM 45.1129.01
Die das Gravitationsfeld bestimmenden Gleichungen in der Theorie von Einstein und Grossmann sind nicht linear; daher ist das dem Tensor \({\mathfrak T}_{\sigma\nu}^{(1)} + {\mathfrak T}_{\sigma\nu}^{(2)}\) \((\sigma, \nu =1, 2, 3, 4)\) entsprechende Feld nicht die Summe der den Tensoren \({\mathfrak T}_{\sigma\nu}^{(1)}\) und \({\mathfrak T}_{\sigma\nu}^{(2)}\) entsprechenden Felder. Die Gleichungen zeigen zwar eine gewisse Homogenität; wenn alle \(g\) mit dem konstanten Faktor \(\lambda\) multipliziert werden und ebenso die \(\mathfrak T\), so bleiben die Gleichungen \[ (1) \qquad \sum_\nu \;\frac {\partial{\mathfrak T}_{\sigma \nu}}{\partial x_\nu} =\tfrac 12\sum_{\mu\nu\varrho} \frac {\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\sigma}\;\gamma_{\mu\varrho} {\mathfrak T}_{\varrho\nu}\quad (\varrho =1, 2, 3, 4) \] \[ (2)\quad \sum_{\alpha\beta\mu}\frac {\partial}{\partial x_\alpha}\left( \sqrt{-g}\,\beta\gamma_{\alpha\beta} g_{\sigma\mu} \frac {\partial\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_\beta}\right) - \kappa ({\mathfrak T}_{\sigma\nu}+{\mathfrak t}_{\sigma\nu})\quad (\sigma, \nu =1, 2, 3, 4) \] gültig, falls sie vor der Multiplikation bestanden. Aber trotzdem folgt hieraus keineswegs, daß ein Feld möglich wäre, dessen \(g\) und \(\mathfrak T\) das \(\lambda\)-fache eines gegebenen Feldes sein würden. Eher könnte man sagen, daß das Gegenteil wahr sei und dies findet seinen Grund in der hinzutretenden Bedingung, daß für unendlich werdende Entfernung bis zu den Stellen, wo \({\mathfrak T}_{\sigma\nu}\) sich von Null unterscheidet, \(g_{11},g_{22}\) und \(g_{33}\) gegen \(-1\) konvergieren, \(g_{44}\) gegen \(c^2.\)
Diese Bemerkungen genügen, um einzusehen, daß die Berechnung von Gravitationsfeldern in der neuen Theorie unvergleichlich schwieriger ist als in der alten, Newtonschen. In der letzteren kann das Feld durch Integration gefunden werden; in der ersteren ist dies unmöglich, wie aus dem obigen hervorgeht. Nun sollen aber die Gleichungen (2) in die Poissonschen Gleichungen übergehen für unendlich schwache Felder, und somit kann die Lösung jener Gleichungen auf die der Poissonschen zurückgeführt werden, wenn wir uns mit sukzessiven Näherungen begnügen. Wir beginnen nämlich mit der Annahme, daß die \(g\) und die \(\gamma\) sich wenig von den Werten unterscheiden; die sie im Unendlichen haben müssen; dies läuft darauf hinaus, daß die Quadrate und die Produkte der Differenzen mit jenen Werten im Unendlichen vernachlässigt werden. Dann haben wir zehn Poissonsche Gleichungen zu lösen und wir finden die Differenzen mit dem Faktor \(\chi\) multipliziert. Dann wird eine neue Korrektion eingeführt, multipliziert mit dem Faktor \(\chi^2;\) diese neue Korrektion ist ebenfalls die Lösung einer Poissonschen Gleichung, deren zweites Glied nun aber mit Hilfe der ersten Korrektion berechnet ist. Indem man so ohne Ende fortgeht, wird die Lösung in der Form einer Potenzreihe von \(\chi\) erhalten. Für den Fall eines sphärischen Körpers hat H. A. Lorentz das Feld berechnet, wobei er Glieder mit \(\chi^3\) und höheren Potenzen von \(\chi\) vernachlässigt hat. Der Verf. hat es versucht, der bei dieser Berechnung angewandten Methode nachzugehen, sowie er sie aus mündlichen Mitteilungen verstanden hat, um das Feld zweier ruhenden sphärischen Körper in bezug aufeinander zu berechnen; die Veröffentlichung dieser Untersuchung wird in Aussicht gestellt.

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