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Mémoire sur les nombres dérivés des fonctions continues. (French) JFM 45.1285.01

Die vorliegende Arbeit bildet den ersten Teil einer Reihe von Veröffentlichungen über die Derivation. Das wesentlichste Resultat läßt sich wir folgt zusammenfassen. Wird von einer Nullmenge abgesehen, so gruppieren sich die derivierten Zahlen \((\varDelta_l, \delta_l, \varDelta_r, \delta_r)\) einer stetigen Funktion nach einer der folgenden vier Möglichkeiten: \[ \begin{aligned} & \text{I.}\qquad \varDelta_l=\varDelta_r=+\infty, \;\delta_l=\delta_r=-\infty,\;& \text{II.}\qquad \varDelta_l=\delta_r=a, \;\delta_l=-\infty, \;\varDelta_r=+\infty,\;& \text{III.}\qquad \varDelta_l =\delta_l=\varDelta_r=\delta_r=a,\\ & \text{IV.}\qquad \varDelta_l=+\infty, \;\delta_l=\varDelta_r=a, \;\delta_r = -\infty,\end{aligned} \] wobei \(a\) eine endliche Zahl bezeichnet. Im ersten Kapitel werden die nötigen mengentheoretischen Hilfsmittel vorausgeschickt, wobei manche neue Begriffe definiert werden. Von diesen seien folgende angeführt: Als (ensemble residuel) einer perfekten Menge \(P\) bezeichnet der Verf. die Menge aller Punkte, die von \(P\) nach Entfernen von abzählbar vielen, auf \(P\) nicht-dichten Mengen übrigbleiben. Unter der “Dichtigkeit” einer Menge \(E\) in einem Intervall \(I\) wird wie üblich der Quotient \[ \frac {m(E, I)}{m(I)} \] verstanden. Als Variation von \(f(x)\) auf \(a \leqq x \leqq b\) wird \[ \frac {f(b) - f(a)}{b-a} \] bezeichnet.
Im zweiten Kapitel werden die Hauptsätze formuliert. Der erste lautet wie folgt: Es sei \(P\) eine perfekte Menge,\(S_n(n =1, 2, 3, \dots)\) eine Folge von Intervallen, deren Länge gegen 0 strebt und deren rechte bzw. linke Endpunkte \(c_n\) der Menge \(P\) angehören und auf \(P\) überall dicht liegen; es besitze ferner die Variation \(l_n\) der stetigen Funktion \(f (x)\) an \(S_n\) eine der folgenden drei Eigenschaften: a) \(l_n > k,\) b) \(l_n < k,\) c) \(\lim_{n=\infty} l_n = h\) \((k\) ist fest und endlich, \(h\) ist fest); dann ist die Menge aller Punkte von \(P,\) in denen für die Funktion \(f (x)\) eine der Bedingungen a) \(\varDelta_r\) bezw. \(\varDelta_l \geqq k,\) b) \(\delta_r\) bezw. \(\delta_l \leqq k,\) c) \(\delta_r \leqq h \leqq \varDelta_r\) bzw. \(\delta_l \leqq h \leqq \varDelta_l\) erfüllt ist, überall dicht auf \(P,\) sie ist sogar eine Restmenge von \(P.\) Von den zahlreichen Anwendungen dieses Satzes seien die folgenden hervorgehoben: Die Menge \(M\) der Punkte, in denen \(\varDelta_r\) oder \(\varDelta_l = + \infty\) (bzw. \(\delta_r\) und \(\delta_l = - \infty)\) ist, ist entweder nicht-dicht auf jeder perfekten Menge, oder enthält selbst eine perfekte Menge, je nachdem \(M\) abzählbar ist oder nicht. Ferner: Sind die derivierten Zahlen von \(f(x)\) auf einer perfekten Menge \(P\) endlich, dann bilden die Punkte von \(P,\) in deren Umgebung die auf die benachbarten Intervallen (intervalles contigus) von \(P\) bezüglichen Variationen von \(f(x)\) nicht beschränkt sind, eine auf \(P\) nicht-dichte Menge.
Der zweite Hauptsatz lautet so: Es sei auf einer perfekten Menge, deren Dichtigkeit zwischen ihren Endpunkten \(a\) und \(b\) gleich \(e\) ist, \(\varDelta_r > \lambda,\) ferner in jedem Teilintervalle \(a_nb_n\) \[ \frac {f(x)-f(b_n)}{x - b_n} > -\mu, \] dann ist \[ \frac {f(b)-f(a)}{b-a} >\lambda e-\mu (1-e). \] Als Anwendung ergibt sich hieraus der eingangs formulierte Satz über die vier Möglichkeiten in bezug auf die derivierten Zahlen.
Diese Sätze und Anwendungen werden (besonders im dritten Kapitel) an zahlreichen Beispielen erläutert, auf die man hier nicht näher eingehen kann. Drei Noten machen den Schlußder Arbeit.
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Full Text: EuDML