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Sur les fonctions dérivées sommables. (French) JFM 45.1286.01

Die vorliegende Arbeit bildet die Fortsetzung der vorstehend besprochenen. Der erste Teil ist der Erläuterung und den Eigenschaften des Begriffes der annähernd stetigen Funktionen (f. approximativement continues) gewidmet. Dieser neue Begriff spielt, in methodischer Hinsicht, eine wichtige Rolle in der ganzen Arbeit. Die Funktion \(f(x)\) heißt annähernd stetig im Punkte \(x_0,\) wenn für jedes positive \(\varepsilon\) die Menge \(E(x_0, \varepsilon)\) der Punkte \(x,\) für welche \(| f(x) - f (x_0) | < \varepsilon,\) die Maßdichte 1 im Punkte \(x_0\) hat. Jede stetige Funktion einer in \(x_0\) annähernd stetigen Funktion ist ebenfalls in \(x_0\) annähernd stetig. Jede meßbare Funktion ist fast überall annähernd stetig: Es gilt der wichtige Satz, daß jede meßbare beschränkte Funktion, in jedem Punkte, wo sie annähernd stetig ist, gleich der Ableitung ihres unbestimmten Lebesgueschen Integrales ist. Daraus folgt, daß jede beschränkte, in jedem Punkt eines Intervalles annähernd stetige Funktion eine Derivierte ist. Es gibt aber nicht beschränkte, überall annähernd stetige Funktionen, die keine Derivierten sind und Derivierte, sogar beschränkte Derivierte, die nicht annähernd stetig sind. Beispiele solcher Funktionen werden konstruiert.
Obgleich Derivierte und annähernd stetige Funktionen nicht zusammenfallende Funktionenklassen sind, haben sie eine weitgehende Ähnlichkeit, die besondere prägnant in den drei folgenden Sätzen zum Ausdruck kommt: 1) Jede im Intervall \(a \leqq x \leqq b\) annähernd stetige Funktion \(\psi (x)\) durchläuft zwischen \(a\) und \(b\) jeden zwischen \(\psi (a)\) und \(\psi (b)\) liegenden Wert. 2) Wenn \(\psi (x)\) in \(a \leqq x \leqq b\) annähernd stetig ist, so bilden die Punkte dieses Intervalles, für welche \(\psi (x)\) zwischen \(\psi (a)\) und \(\psi (b)\) liegt, eine Menge vom Maße \(> 0\). 3) Jede in \(a \leqq x \leqq b\) annähernd stetige Funktion ist der Limes einer Folge stetiger Funktionen.
Im zweiten Kapitel wird gezeigt, wie sich das Lebesguesche Integral auf verallgemeinerte Riemannsche Integrale zurückführen läßt. Neue Beweise werden dann für folgende Hauptsätze von Lebesgue gegeben: Das Lebesguesche Integral \(\int_a^x fdx\) hat fast überall \(f\) als Ableitung. Jede Funktion beschränkter Schwankung hat fast überall eine Ableitung. (Verschärfung eines Satzes von Lebesgue, der die Existenz endlicher Hauptderivierten in jedem Punkt voraussetzte.) Die Derivierten einer Funktion beschränkter Schwankung sind summierbar.
Das dritte Kapitel entwickelt ausführlich vier Beispiele von beschränkten, annähernd stetigen Derivierten, die in jedem Intervall positive und negative Werte besitzen. Im folgenden seien \(u_n > 0\), \(\sum_{n=1}^\infty u_n\) konvergent, \(\sum_{n=1}^\infty | v_n| \) konvergent, \(\mu_n >0, \;\mu_n\) und \(\lambda_n\) beschränkt, \(\alpha > 0.\) Ferner sei \(a_n\) eine im Intervall \((ab)\) überall dichte Punktmenge. Erstes Beispiel. Real- und Imaginärteil von \[ G(x) =e^{-(\alpha+\beta i) \sum_{n=1}^\infty \frac {u_n}{\root n \of {| x-a_n| }}}. \] Zweites Beispiel. Real- und Imaginärteil von \[ T(x) = e^{ -\sum_{n=1}^\infty \frac {u_n(1+i\lambda_n)}{| x-a_n| ^{\mu n/\log n}} }. \] Drittes Beispiel. Real- und Imaginärteil von \[ S(x) =\prod_{n=1}^\infty | x-a_n|^{\frac {u_n(1+i\lambda_n)}{\log n} }. \] Viertes Beispiel. Die Köpckesche Funktion.
Das letzte Kapitel handelt von den Derivierten, die außerhalb einer perfekten Punktmenge überall Null sind und gibt eine allgemeine Vorschrift zur Konstruktion einer ausgedehnten Klasse solcher Funktionen.

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