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Sur les transformations de Bäcklund. (French) JFM 45.1313.01

Es seien zwei Räume \(E\) und \(E'\) von \(n +1\) Dimensionen gegeben \((r \geqq n +1),\) zwischen deren Elementen \(r\) Relationen bestehen mögen: \[ \begin{cases} F_1 (x_i, z, p_i, x_i', z', p_i')=0, \\ \qquad\cdots\\ F_r (x_i, z, p_i, x_i', z', p_i')=0,\end{cases} \quad (i=1, 2, \dots, n). \tag{*} \] Es gibt Elementvereine \(M\) von \(n\) Dimensionen in \(E,\) denen die Gleichungen (*) Elementvereine von \(n\) Dimensionen in \(E'\) zuordnen. Eine solche Korrespondenz ist eine Bäcklundsche Transformation. Die Mannigfaltigkeiten \(M\) sind die allgemeinen Integrale von einem oder mehreren Systemen von partiellen Differentialgleichungen in \(E,\) zu denen Systeme von partiellen Differentialgleichungen in \(E'\) gehören. Es gibt Transformationen dieser Art, die so beschaffen sind, daßdiese Systeme von partiellen Differentialgleichungen nicht durch eine Berührungstransformation ineinander überführbar sind. Dagegen gilt, wie der Verf. zeigt, der folgende Satz: Wenn \(r = 2n +1\) ist, so gibt es immer eine Berührungstransformation, bei der diejenigen Elementvereine in \(E,\) die durch die oben erwähnten Differentialsysteme definiert werden, dieselbe Transformation erleiden wie bei der Transformation (*).

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Full Text: DOI Numdam EuDML