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Sur les fonctions de Green et de Neumann du cylindre. (French) JFM 45.1315.03

Es handelt sich hier um die zu der Gleichung \[ (1) \qquad \frac {\partial^2u}{\partial \xi^2}+ \frac {\partial^2u}{\partial \eta^2}+ \frac {\partial^2u}{\partial\zeta^2}=\lambda \] gehörigen Greenschen und Neumannschen Funktionen für einen unendlich langen Kreiszylinder \((D),\) dessen Erzeugende parallel der \(\zeta\)-Achse angenommen werden. Es sei \(\sum_0\) die Schnittfläche von \(D\) mit der Ebene \(\zeta = 0.\) Es zeigt sich, daß die Greensche Funktion \(G(M, P; \lambda )\) unter der Forderung, daß sie auch im Unendlichen verschwinde, nur für \(\lambda + \alpha_1^2 > 0\) existiert, wenn \(-\alpha^2\) der größte Eigenwert von \[ (2)\qquad \frac {\partial^2u}{\partial\xi^2}+\frac {\partial^2u}{\partial\eta^2}-\lambda u=0 \] in bezug auf \(\sum_0\) ist. In diesem Falle gilt \[ G(M, P;\lambda)=\frac 1\pi \int_{-\infty}^\infty g(m, p; \lambda+\mu^2)\cos \mu (\zeta-z)d\mu, \] wobei \(g\) die zu \(\sum_0\) gehörige Greensche Funktion von (2), \(m\) und \(p\) Projektionen von \(M\) und \(P\) auf die Ebene \(\zeta = 0, \zeta \) und \(z\) die Koordinaten der Punkte \(M\) und \(P\) bezeichnen. Ferner wird \(G,\) gemäß dem Hilbert- Schmidtschen Entwicklungssatze in eine nach den Eigenfunktionen von \(g\) fortschreitende Reihe entwickelt. Auch für die Neumannsche Funktion werden ähnliche Resultate gefunden. Was den Zusammenhang zwischen \(G\) und \(g\) betrifft, sei hier noch auf die vom Verf. abgeleitete Formel \[ \iint_{\sum_0}G_m^p G_p^m d\sigma_m =2\pi g_p^q \] hingewiesen. Zum Schluß diskutiert der Verf. das Dirichletsche Randwertproblem für den Zylinder.

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Full Text: DOI Numdam EuDML