Hélicoïdes de seconde espèce. (French) JFM 45.1369.02

Barré

S. M. F. Bull. 43, 25-61 (1915).

Barré nennt Schraubenflächen zweiter Art die Flächen, welche durch koaxiale Schraubenlinien \((\varrho\) = const.) erzeugt werden; ihre Gleichungen sind: \[ x =\varrho \cos \varphi;\quad y=\varrho \sin \varphi; \quad z=f(\varrho)+k(\varrho)\varphi. \] Für die gewöhnlichen Schraubenflächen ist \(k\) konstant.
Wenn \(\frac k\varrho\) konstant ist, so fallen die erzeugenden Schraubenlinien zusammen mit den Berührungskurven der Tangentialkegel, deren Spitzen auf der Achse \(Oz\) liegen; sie bilden mit den Meridiankurven konjugierte Systeme.
Jede Erzeugende berührt eine Haupttangentenkurve der Fläche nur in einem Punkt: dem Zentralpunkt der Erzeugenden. Dieser Satz gilt nicht mehr für die (singulären) Erzeugenden mit stationärer Ganghöhe (wenn \(\varrho\) eine Wurzel von \(k'(\varrho) = 0\) ist); es existiert auf einer singulären Erzeugenden, im allgemeinen, kein Punkt, wo sie eine Haupttangentenkurve berührt; wenn es aber vorkommt, so ist die Erzeugende selbst eine Haupttangentenkurve.
Auf jeder Erzeugenden gibt es zwei Punkte (vom Zentralpunkte gleich entfernt), wo sie eine Krümmungskurve berührt, vier Punkte, wo die Fläche eine gegebene Gaußsche Krümmung besitzt und sechs Punkte mit vorgeschriebener mittlerer Krümmung.
Die geodätische Krümmung einer Erzeugenden ist im Zentralpunkt am größten.
Wenn die Striktionslinie (Ort der Zentralpunkte) eine orthogonale Trajektorie der Erzeugenden ist, so ist sie eine geodätische Linie und umgekehrt, wenn eine geodätische Linie eine orthogonale Trajektorie der Erzeugenden ist, so ist sie die Striktionslinie.
Zum Schlußwird der Spezialfall ausführlich behandelt, wo die Meridiane gerade Linien sind.

Reviewer: Kollros, L., Prof. (Zürich)

JFM Section:

Nachtrag. Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. A. Allgemeine Theorie der Raumkurven und Flächen.