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Sulle varietà algebriche a tre dimensioni a superficie-sezioni razionali. (Italian) JFM 45.1379.01

Es ist bekannt, daßdie Flächen mit lauter rationalen bzw. elliptischen oder hyperelliptischen ebenen Schnitten selbst rational ausfallen bzw. Regelflächen sind (Picard, J. f. Math. 100, 71, 1887; v. Del Pezzo, Palermo Rend. 1, 241, 1884-87; Castelnuovo, Palermo Rend. 4, 73, 1890, Rom. Acc. L. Rend. (5) \(3_1\), 59, 1894; Enriques, Rom. Acc. L. Rend. (5) \(2_2\), 281, 1893). In der vorliegenden Arbeit wird die analoge Frage für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten vollständig erledigt.

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References:

[1] Picard, Bull. Soc. Phil. de Paris (7), t. 2 (1878), p. 127; Journ. de Crelle, t. 100 (1887), p. 71;Guccia, Rend. Circ. Mat. di Palermo, t. 1 (1884–87), p. 165.
[2] Per le superficie a sezioni ellittiche, v.Del Pezzo, Rend. Circ. Mat. di Palermo, t. 1 (1884–87), p. 241;Castelnuovo, Rend. Acc. dei Lincei (5), vol. 31 (1894), p. 59. Per il caso delle sezioni iperellittiche di genere >1, v.Castelnuovo, Rend. Circ. Mat. di Palermo, t. 4 (1890), p. 73;Enriques, Rend. Acc. dei Lincei (5), vol. 22 (1893), p. 281.
[3] Per le varietà a tre dimensioni, v.Enriques, Math. Ann., Bd. 46 (1895), p. 179. L’estensione alle varietà superiori è immediata. Queste varietà sono soltanto quadriche, serie razionali di spazi, e coni proiettanti la superficieF 4 diVeronese o una sua proiezione. Nel lavoro cit. del sig.Enriques sono pure riassunte le ricerche sulle superficie già dianzi accennate.
[4] Enriques, l. c. L’estensione alle varietà superiori è immediata per il caso delle curve-sezioni iperellittiche di genere >1. Per il caso delle curve ellittiche, v.Scorza, Rend. Acc. dei Lincei (5), vol. 171 (1908), p. 10; Annali di Mat. (3), t. 15 (1908), p. 217.
[5] Enriques, Math. Ann., Bd. 49 (1897), p. 1; cfr. in particolare § 17. · JFM 28.0559.02 · doi:10.1007/BF01445357
[6] Enriques, Rend. Acc. dei Lincei (5), vol. 211 (1912), pag. 81;Fano, Atti della R. Acc. di Torino, vol. 43 (1907–08), p. 973.
[7] Castelnuovo edEnriques,Sur les intégrales simples de première espèce d’une surface ou d’une variété algébrique à plusieurs dimensions; Annales de l’École Norm. Sup. (3), t. 22 (1896), p. 339.
[8] Severi,Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche; Rend. Circ. Mat. di Palermo, t. 28 (1909), p. 33. V. in particolare n.o 17, teor. VIII. I risultati principali di questo lavoro si trovano già enunciati nei Rend. della R. Accad. dei Lincei (5), vol. 162 (1907), p. 337. Essi sono vincolati alla possibilità di risolvere in singolarità ordinarie, mediante trasformazioni birazionali, le singolarità di una varietà qualunque; questa riserva si estende perciò anche al presente lavoro. · JFM 40.0711.03 · doi:10.1007/BF03018210
[9] Severi,Fondamenti ecc., n.o 19.
[10] Enriques, Mem. cit. dei Math. Ann., Bd. 49; § 18.
[11] Severi,Fondamenti ecc., formola (22), che riceve la presente forma definitiva solo più avanti, al n.o 21.
[12] Severi, l. c., n.o 20, teor. X.
[13] Enriques,Sulle superficie algebriche di genere geometrico zero; Rend. Circ. Matem. di Palermo, t. 20 (1905), p. 1. · JFM 36.0693.02 · doi:10.1007/BF03014025
[14] Cfr.:Castelnuovo,Sulle superficie di genere zero; Mem. Soc. Ital. delle Scienze (detta dei XL) (3), t. 10 (1896); n.o 4. Il nostro ragionamento non differisce sostanzialmente da quello del sig.Castelnuovo: questi suppone bensì che la superficieF non abbia punti multipli proprî, e che perciò il sistema lineare da noi indicato con | C0 | abbia lo stesso genere del sistema complessivo | C |; ma l’ipotesi stessa, per questo punto speciale della trattazione, non è necessaria. Cfr. anche quanto è detto al principio del n.o 4 del presente lavoro.
[15] V. la Mem. cit.:Sulle superficie di genere zero, nonchè la “ Aggiunta {” alla MemoriaEnriques:Sui piani doppi di genere uno, Mem. Soc. Ital. delle Scienze (detta dei XL) (3), t. 10 (1896).}
[16] Ueber die rationalen Flächen vierter Ordnung; Math. Annalen, vol. 33 (1889), p. 546. Le altre superficie razionali del 4.o ordine con un solo punto doppio, sempre di natura speciale, si incontrano qui pure, ma sono proiezioni di superficie del tipo stesso di cui ora trattasi e già considerate dal sig.Castelnuovo.
[17] Castelnuovo, Mem. cit.:Sulle superficie di genere zero, n.o 11.
[18] Castelnuovo edEnriques,Sulle condizioni di razionalità dei piani doppi; Rend. Circ. Matem. di Palermo, t. 14 (1900), p. 290. In questa Memoria sono accennate anche le fasi anteriori per le quali è passata la determinazione dei piani doppi razionali, dai lavori diClebsch eNoether in poi. La curva di diramazione deve essere di ordine pari, e non deve avere “ seconde aggiunte {”, coll’avvertenza che un suo punto multiplo di ordine dispari 2k+1, al quale non ne sia infinitamente vicino un altro consimile, va computato, nella determinazione delle seconde aggiunte, come se fosse solamente (2k)plo. I punti tripli isolati e i punti doppi sono perciò, per le seconde aggiunte, come inesistenti. Da queste condizioni segue immediatamente che i soli casi possibili sono quelli sopra enumerati.} · JFM 31.0658.02 · doi:10.1007/BF03012845
[19] Le superficie razionali del 5.o ordine diS 3 con punto triplo e prive di linea doppia furono determinate dalPensa (Sulle superficie razionali del 5. o ordine; Annali di Matem. (3), vol. 6 (1901), p. 249; cfr. in partic. n.o 20); e si può verificare direttamente che per nessuna di esse le quadriche aggiunte sono tutte coni.
[20] Castelnuovo,Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere tre; Atti della R. Accad. delle Sc. di Torino, vol. 25 (1890). In questa Nota è posta da principio una restrizione, che è soddisfatta (come si è riconosciuto in seguito) per tutte le superficieregolari; fra le superficie ivi determinate sono perciò comprese tutte quelle razionali.
[21] A questo tipo (per un certo valore dik) può infatti ridursi, per mezzo di una trasformazione cremoniana, qualunque fascio di curve piane ellittiche. La prima dimostrazione fu data dalBertini (Annali di Matem. (2), vol. 8 (1877), p. 248); e ilFerretti (Rend. Circ. Matem. di Palermo, t. 16 (1902), p. 236) confermò il risultato in modo da eliminare i dubbi sorti più tardi circa taluni casi di punti multipli infinitamente vicini.
[22] Cfr. la prima nota al n.o 4.
[23] Castelnuovo,Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere tre, n.o 7. · JFM 22.0790.01
[24] Severi,Osservazioni varie di geometria sopra una superficie algebrica e sopra una varietà; Atti Ist. Veneto, t. LXV, parte II (1906), p. 625. · JFM 37.0647.01
[25] C. Segre,Sulle varietà normali a tre dimensioni composte di serie semplici razionali di piani; Atti della R. Accad. di Torino, vol. 21 (1885). V. in partic. n.o 17 e seg.
[26] Sulle superficie razionali del 5. o ordine; Ann. di Matem. (3), vol. 6 (1901), p. 249, n.o 20. È il caso IV2: punto triplo, al quale sia infinitamente vicina una retta doppia del tipo III7.
[27] Questa trasformazione fu già considerata dal signorMontesano: l. c., n.o 7.
[28] Infatti l’intersezione residua di duef 4 aventi a comune la retta doppia e tre coniche (in piani per quella retta) è una sestica di genere 4. Dovendo questa, nel caso presente, ridursi al genere 3, avrà un punto doppio fisso. D’altra parte dalla trasformazione cremoniana, considerata emerge (Montesano, l. c.) che lef 4 ottenute hanno a comune un elemento ulteriore della retta doppia; è questo, con quelli ad esso infinitamente vicini, pure comuni, che dà origine al punto doppio delle sestiche. – Considerando gli elementi di superficie appartenenti a una retta fissa come punti di una quadrica (e precisamente i sistemi di elementi che hanno a comune il punto o il piano come i due sistemi di generatrici), le rette doppie sovrapposte delle superficief 4 appaiono come quartiche ellittiche di questa quadrica, aventi a comune un gruppo diotto elementi associati (che implicano cioè soltanto 7 condizioni distinte);sei di questi appartengono rispettivamente alle 3 coniche basi; i rimanenti due coincidono nell’elemento ulteriore dianzi considerato.
[29] Noether,Ueber die reductiblen algebraischen Curven; Acta Mathem., vol. 8 (1886), p. 161. La proposizione di cui facciamo uso non è esplicitamente enunciata come a noi occorre, ma risulta molto chiaramente dalle considerazioni del n.o 10. Imponendo a una curva di essere aggiunta alla somma{\(\eta\)} 1+{\(\eta\)} 2+...+{\(\eta\)} i +({\(\gamma\)}) in tutti i punti che le singole parti hanno a comune a due a due, si hanno condizioni fra le qualii sono conseguenze delle rimanenti. Queste possono anzi distribuirsi ini gruppi, entro ciascuno dei qualiuna delle condizioni stesse sia conseguenza delle altre; e abbandonando la condizione già posta per quelle intersezioni delle{\(\eta\)} h che cadono fuori dei punti basi di |{\(\gamma\)}|, si viene a escludere in ciascuno dei primii gruppi una o più condizioni, tali sempre che quelle che rimangono siano indipendenti. La curva{\(\eta\)} può anche avere componenti multiple; le componenti irriducibili sovrapposte vanno allora considerate come componenti distinte, le quali (nei riguardi della connessione) abbiano punti comuni anche fuori dei punti basi di |{\(\gamma\)}|.
[30] V. la Mem. cit.:Ueber die rationalen Flächen vierter Ordnung, Math. Ann., vol. 33 (1889), p. 546.
[31] Fano,Sulle superficie algebriche contenute in una varietà cubica dello spazio a quattro dimensioni, Atti della R. Accad. di Torino, vol. 39 (1904);Severi,Una proprietà delle forme algebriche prive di punti multipli, Rend. R. Accad. dei Lincei (5), vol. 152 (1906), p. 691. – Sopra unaV a diS 4 il sistema delle sezioni iperpiane è l’aggiunto del sistema di superficie di ordine 9 segato dalle forme cubiche; ma questo secondo sistema non è doppio di alcun altro. Potrebbe però esistere un sistema di superficie, con punti o linee singolari, doppio di un altro e perciò segato da varietà di ordine pari 2m (), il cui aggiunto si componga di una parte fissa, segata da una varietà di ordine 2m – 3, e di una sezione iperpiana variabile; ed è appunto quest’eventualità che bisogna esaminare.
[32] Castelnuovo,Ricerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane, Mem. della R. Accad. di Torino (2), t. 42 (1891), n.o 29.
[33] Queste eventuali componenti fisse sarebbero “ausgezeichnete Curven {” secondoM. Noether (Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens algebraischer Gebilde, II; Math. Ann., vol. 8 (1875), p. 495: v. in part. p. 521), ma noncurve eccezionali nel senso odierno di questa parola, cioè trasformabili birazionalmente (ciascuna) nell’intorno di un punto semplice della superficie.}
[34] Castelnuovo eEnriques,Sur quelques récents résultats dans la théorie des surfaces algébriques, Math. Ann., vol. 48 (1907), p. 241. Cfr. in partic. § 24. · JFM 27.0524.01 · doi:10.1007/BF01447947
[35] Castelnuovo eEnriques,Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche, Annali di Matem. (3), vol. 6 (1901), p. 165; n.o 5. · JFM 32.0622.01 · doi:10.1007/BF02420881
[36] Denominazione già usata dal sig.Enriques per le curve sopra una superficie. Cfr. la Memoria:Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche; Mem. della Soc. Ital. delle Scienze (detta dei XL) (3), t. X (1896); n.o 31.
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