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Sur une class de groupes discontinus de transformations birationnelles qnadratiqnes et sur les fonctions de trois variables independantes restant invariables par ces transformations. (French) JFM 45.1410.03
Die vorliegende Arbeit ist der eingehenden Untersuchung von Transformationen gewidmet, die in gewissen Bereichen des \(R_6\) eine diskontinuierliche Gruppe bilden. Man kommt auf diese durch Betrachtung der linearen Substitutionen, die die bilineare Form \[ (1) \qquad t_1u_3-t_3u_1 +t_2u_4 -t_4u_2 \] invariant lassen. Es seien mit Hilfe der Größen \[ g=-\frac {(tu)_{23}}{(tu)_{12}}, \quad h=\frac {(tu)_{13}}{(tu)_{12}}, \quad g'=\frac {(tu)_{14}}{(tu)_{12}}\qquad ((tu)_{ik}=t_i u_k -t_k u_i) \] die Veränderlichen \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\) eingeführt, und zwar sei \[ g=-\frac {x_2}{x_1}, \quad h=\frac {x_3}{x_1}, \quad g'=\frac {x_4}{x_1}, \quad gg'-h^2=\frac {x^5}{x_1}. \] Man hat dann \[ (2) \qquad x_1x_5 +x_2x_4 +x_3^2= 0. \] Die transformierten Größen \(G, H, G', GG' - H^2\) erscheinen hierbei als birationale Ausdrücke von \(g, h, g', gg' - h^2.\) Die Größen \(x_i\) transformieren sich hingegen linear in \(X_i (i=1, 2, 3, 4, 5).\) Letztere Transformationen \((T)\) sind es, die der Verf. näher betrachtet. Sie lassen die Form linker Hand in (2) invariant, d. h. es ist auch \[ (2')\qquad X_1 X_5 + X_2X_4 + X_3^2= 0. \] Indem man \(\mathfrak {R}g = g_1, \mathfrak {R}h = h_1, \mathfrak {R} g' = g_1'\) setzt, läßt sich zeigen, daß, wenn die Form \[ g_1x^2 +2h_1xy +g_1'y^2 \] positiv definit ist, sie auch eine solche nach der Ausführung von \((T)\) bleibt. Diese Bemerkung gestattet den \(R_6\) in sechs Teile zu zerspalten, die einzeln gegenüber der Gruppe der Transformationen \((T)\) invariant bleiben und sich nicht in kleinere Bereiche von derselben Art zerrten lassen.
Das zweite Kapitel enthält die Untersuchung der Doppelpunkte von \((T).\) Das dritte ist der Erforschung der Fundamentalbereiche einer diskontinuierlichen Gruppe von Trapsformationen \((T)\) gewidmet. Insbesondere wird im vierten die Gruppe, gebildet aus den Potenzen einer einzigen \((T),\) betrachtet. Im fünften Kapitel führt der Verf. die auf die Poincarésche Weise gebildeten Reihen ein; sie liefern Funktionen, welche einer Gruppe von Transformationen \((T)\) gegenüber invariant bleiben. In den weiteren Teilen der Arbeit wird u. a. die sogenannte arithmetische Gruppe, d. h. die Gruppe der Transformationen \((T)\) mit ganzzahligen Koeffizienten sowie die entsprechende invariante Funktion betrachtet.

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Anhang.
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Full Text: DOI Numdam EuDML