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Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. (German) JFM 46.0128.03
Zunächst wird ein Satz von Stieltjes bewiesen, der sich auf das Maximum vom \(\prod_{\chi<\lambda}^{1,n} (x_{\chi}- x_{\lambda})^2=\Delta\) für \(-1\leqq x_{\nu} \leqq 1\) \((v=1, 2, \dots, n)\) bezieht. Sodann wird das Maximum von \(\Delta\) unter der Bedingung \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\leqq 1\) (\(x_{\nu}\) reell), bzw. unter der Bedingung \(x_1+x_2+\cdots+x_n \leqq 1\) \((x_{\nu}\geqq 0)\) bestimmt; endlich wird nach Pólay das Maximum von \(| \Delta| \) bestimmt, wenn die \(x_{\nu}\) komplexe Zahlen sind, die der Bedingung \(| x_{\nu}| \leqq 1 (\nu=1, 2, \dots, n)\) genügen. Hieraus folgen bemerkenswerte Sätze über algebraische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Wurzeln entweder 1. alle reell sind, oder 2. alle positiv sind, oder 3. sämtlich vom absoluten Betrage 1 sind, oder endlich sämtlich im Inneren des Einheitskreises liegen. Wir haben den Satz hervor:
Bei vorgeschriebenem \(a_0>0\) gibt es für \(\gamma < e^{\frac 12}=1,64\dots\) nur endlich viele, dagegen für \(\gamma \geqq 2\) unendlich viele Gleichungen \(a_0x^n+a_1x^{n- 1}+\cdots+a_n=0\) mit ganzzahligen Koeffizienten und lauter reellen, von einander verschiedenen Wurzeln \(x_1, x_2, \dots, x_n\), die der Bedingung genügen: \[ \frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n} \leqq \gamma. \] Schließlich folgt eine Anwendung auf total reelle algebraische Zahlkörper. (II 8.)

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References:
[1] ?Sur les polynômes de Jacobi?, Comptes Rendus, Bd. 100 (1885), S. 620?622
[2] ?Über die Diskriminante der im Endlichen abbrechenden hypergeometrischen Reihe?, Journal f. Math., Bd. 103 (1888), S. 337?345. · JFM 20.0154.03
[3] Diese Sätze habe ich in meiner Arbeit, ?Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind?, Journ., f. Math., Bd. 147 (1917), S. 205?232 (vgl. insbesondere S. 208 und 230) bewiesen.
[4] ?Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coeffizienten?, Werke, Bd. 1, S. 105?108. Vgl. auch Hilbert, ?Bericht über die Theorie der algebraischen Zahlkörper?. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 4 (1897), S. 221.
[5] Es ist sogar, wie Herr Hilbert, ?Über diophantische Gleichungen?, Gött. Nachrichten 1897, S. 48?54, bewiesen hat, abgesehen von gewissen nur bein?3 vorkommenden Ausnahmefällen,D&gt;1.
[6] Daß der vorhin ausgeschlossene Falln=1 keine Ausnahme bildet, ist ohne weiteres klar.
[7] Füra 0=1 hat man hierbeia 1=0 zu setzen.
[8] Diese Zahl ? kann entweder als die kleinste Häufungsstelle der Menge aller in Betracht kommenden ZahlenM=Max (|x 1|, |x 2|, ..., |x n |) oder auch etwas genauer so gedeutet werden: Man denke sich die sämtlichen Gleichungen der KlasseR(a 0) nach dem bekannten Cantorschen Verfahren als abzählbare FolgeG 1=0,G 2=0, ..: angeordnet. Bestimmt man dann fürG v =0 die zugehörige ZahlM 1, so ist $$\(\backslash\)mathop {\(\backslash\)lambda = Lim \(\backslash\)inf M_v }\(\backslash\)limits_{\(\backslash\)phi = \(\backslash\)infty } $$ .
[9] Wenn hier und im folgenden von endlich oder unendlich vielen Gleichungen gesprochen wird, so ist das stets so gemeint, daß ihr Grad nicht festgehalten werden soll.
[10] Vgl. die in Fußnòte 5) ?Über diophantische Gleichungen?, Gött. Nachrichten 1897, S. 48?54 zitierte Arbeit von Herrn Hilbert.
[11] Für $$\(\backslash\)gamma = e\^{\(\backslash\)frac{1}{2}} $$ wird ?s=20,7 ..., für genügend große Werte vonn ist daher sogar ?8&gt;20n.
[12] ?Geometrie der Zahlen?, S. 134.
[13] Vgl. den in Fußnote 4) zitierten, S. 212.
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