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Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe. (German) JFM 46.0135.01

Die Arbeit gibt einen Beitrag zu der Konstruktion von Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe durch Parameterdarstellung, durch Zurückführung des Problems auf Basisfragen für den zur Gruppe gehörigen Invariantenkörper in \(n\) Unbestimmten. Betrachtungen aus der Galoisschen Theorie zeigen die Möglichkeit der Konstruktion der Gesamtheit der Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe, sobald die Funktionen des zur Gruppe gehörigen Invariantenkörpers sich rational durch \(n\) algebraisch unabhängige Funktionen des Körpers darstellen lassen. Und zwar gilt diese Konstruktionen in bezug auf jeden (endlichen) Zahlkörper \(\Omega^*\), der den Koeffzientenbereich \(\Omega\) der Basisfunktionen enthält, wobei die Parameter die Gesamtheit der Größen aus \(\Omega^*\) durchlaufen, mit Ausnahme derjenigen, die eine Reduktion der Gruppe bedingen.
Es wird noch gezeigt, daß für alle bei Gleichungen 3. und 4. Grades auftretenden Gruppen eine solche Basis existiert; und zwar mit rationalen Zahlkoeffizienten, so daß hier die Konstruktion für jeden beliebigen (endlichen) Zahlkörper gewährleistet ist.

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References:

[1] Fürauflösbare Gleichungen läßt sich die Parameterdarstellung der Koeffizienten ersetzen durch diejenige der Wurzeln. Hier hat neuerdings F. Mertens für gewiese Gruppen 8. Grades allgemeinate Wurzeldarstellungen gegeben: ”Gleichungen 8ten Grades mit Quaternionengruppen”, Sitzb. d. Ak. d. Wiss., Wien, Abt. II a, Bd. 125, S. 735. Wie ich dieser Note entnehme, hat schon vorher G. Bucht für stets herstellbare Normalformen der Gleichungen 3. und 4. Grades und der Gleichungen 8. Grades mit den erwähnten Gruppen die allgemeinsten Wurzelausdrücke angegeben: ”Über einige algebraische Körper achten Grades”, Arkiv for Math., Astron. och Physik, Bd. 6, Nr. 30; [Zusatz bei der Korrektur.]
[2] Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich. Erlangen 1916. · JFM 46.0134.01
[3] Vgl. Teil 2. der vorläufigen Mitteilung über ”Rationale Funktionenkörper”, Jahresb. d. d. Math. Vereinig., Bd. 22, 1913.
[4] Z. B. treten, wie F. Seidelmann a. a. O. gezeigt hat, nur bei deralternierenden Gruppe der Gleichungen 3. und 4. Grades solche – singulären Wertsystemen entsprechende – Gleichungen auf, und zwar nur für solche Zahlkörper, {\(\Omega\)}*, die den Körper der dritten Einheitswurzeln enthalten. Es läßt sich hier jedesmal eine einfache Ergänzungsdarstellung angeben.
[5] J. Lüroth: Beweis eines Satzes über rationale Kurven, Math. Ann. 9 (1875); G. Castelnuovo: Sulla razionalità delle involuzioni piane, Math. Ann. 44 (1893). Daß für Körper von mehr als zwei Unbestimmten keine Minimalbasis zu existieren braucht, hat F. Enriques an einem Gegenbeispiel gezeigt, Rend. Acc. Linc., Vol. 21, 21. Jan. 1912.
[6] Vgl. Weber Algebra (kleine Ausgabe), §93, Formel (12).
[7] E. Fischer: Die Isomorphie der Invariantenkörper der endlichen Abelschen Gruppen linearer Transformationen. Gött. Nachr. 1915, und Zur Theorie der endlichen Abelschen Gruppen. Math. Ann. 77 (1915). · JFM 45.0200.01
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