The algebraic theory of modular systems. (English) JFM 46.0167.01

Macaulay, F. S.

Cambridge: University press, XIV u. 112 S. \(8^{\circ}\) (1916).

Die verdienstvolle Broschüre des bekannten englischen Algebraikers enthält eine Darstellung der von Kronecker, Dedekind, Noether, Hilbert, Lasker und dem Verf. selbst begründeten Modultheorie. Auf die Darstellung der Resultantentheorie und die Kroneckersche Eliminationstheorie, die in feinsinniger Weise einige bei Kroneckersche Eliminationstheorie, die in feinsinniger Weise einige bei Kronecker und König stehengebliebene Irrtümer durch Beispiele klärt, folgt die Auseinandersetzung der allgemeinen Modultheorie in Dedekind-Hilbert-Laskerschen Bahnen. Zur Freiheit Dedekindscher Begriffsbestimmungen ist der Verf. dabei nicht immer ganz vorgedrungen; die starke Benutzung der Modulbasis statt des abstrakten Begriffs scheint dem Ref. höhstens dann den Vorzug zu verdienen, wenn man bis zu Methoden vordringt, um von der Kenntnis der Basis aus mit endlich vielen Schritten alle in Betracht kommenden Fragen zu beantworten; dies war aber bei dem damaligen Stande der Theorie trotz bemerkenswerter Ansätze des Verf. noch nicht möglich. Aus dem Laskerschen Satze von der Zerlegung in Primärmoduln wird eine Reihe von Folgerungen gezogen, die sich auf “ungemischte” Moduln, Moduln der “Hauptklasse” u. a. beziehen. Es folgt ein Beweis der Laskerschen Verallgemeinerung des Notherschen Fundamentalsatzes mit einer Modifikation des an einer Stelle fehlerhaften Laskerschen Beweises. Der letzte Abschnitt entwickelt den Begriff des zu einem Modul “inversen Systems”, eine Schöpfung des Verf., die ihn zu schönen Resultaten geführt hat, so zu der Ablösung der Schnittpunktsmultiplizität beispielweise zweier ebenen Kurven von der Resultante. Hier wird im Grunde eine gewisse Anzahl von linear unabhängigen “Restklassen” des Moduls eingeführt; Ref. ist persönlich der Überzeugung, daß die volle Einsicht erst erreicht wird, wenn das “inverse System” durch das “System der Restklasen”, die “Restgruppe” ersetzt wird, die allerdings mit jenem in engem Zusammenhange steht. Als interessante Einzelheit sei aus dem letzten Abschnitt noch eine Verallgemeinerung des Brill-Noetherschen Restsatzes erwähnt.
Das Buch bedeutet in vieler Hinsicht einen wesentlichen Fortschritt; einzelne nicht ganz vollständige Beweise noch genauer auszuführen, bleibt auch dann wünschenswert, wenn man, wie Ref., die anregende Wirkung solcher Stellen besonders hoch einschätzt. Hierher gehört z. B. die ohne Beweis behauptete Eindeutigkeit der “isolierten Teilmoduln” (die inzwischen durch den Ausbau der abstrakten Theorie von E. Noether ihre Erledigung gefunden hat), ferner beim Beweise des zuletzt genannten Restsatzes die unmotivierte Behandlung von \((F_2, \dots, F_r)\) als Primmodul (S. 97). Trotz dieser einzelnen Mängel kann die Lektüre der Schrift nur angelegentlichst empfohlen werden.

Reviewer: Schmeidler, Prof. (Kiel)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Theorie der Körper und Moduln. Gruppentheorie. Systeme hyperkomplexer Zahlen.