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Asymptotic formulae in combinatory analysis. (English) JFM 46.0198.04

Diese Arbeiten bilden den Anfang einer Reihe von Veröffentlichungen von Hardy und seinen Mitarbeiteren, die sowohl wegen ihrer einenartigen und wichtigen Resultate, wie auch aus methodischen Gründen einen ganz erheblichen Fortschritt in der analytischen Behandlung der additiven Zahlentheorie bedeuten.
Die erste Arbeit befaßt sich im Anschluß an elementare, aber schwierige Untersuchungen von Ramanujan [Highly composite numbers. Proc. Lond. Math. Soc. (2) 14, 347–409 (1915; JFM 45.0286.02), 1248 (1914-15)] mit der asymptotischen Untersuchung der Anzahl \(Q(x)\) von ganzen Zahlen \(\leqq x\), die die Form \[ q=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots p^{a_p}\;(a_2\geqq a_3\geqq \cdots \geqq a_p) \] haben. Nachdem durch elementare Abschätzungen die Ungleichungen \[ K\sqrt{\frac{\log x}{\log \log x}}< \log Q(x) < L\sqrt{\log x\log\log x} \] (\(K\) und \(L\) positive Konstanten) bestätigt sind, wird durch Heranziehung tieferliegender Hilfsmittel das Resultat \[ (1)\quad Q(x) = \text{exp} \left[ \{1+o(1)\} \frac{2\pi}{\sqrt 3}\sqrt{\frac{\log x}{\log \log x}}\right] \] hergeleitet. Zu diesem Zwecke wird zunächst ein Theorem bewiesen, welches wie manches andere von Hardy und Littlewood in den Tauberschen Ideenkreis gehört, d. h. die Umkehrung eines dem Abelschen ähnlichen Theorems darstellt. Es lautet wie folgt: Sei \(\lambda_1\geqq 0, \lambda_n>\lambda_{n-1}, \lambda_n \to \infty, \lambda_n/\lambda_{n-1} \to 1, a_n\geqq 0, A>0, \alpha>0\); es sei ferner \(f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_ne^{- \lambda_{n^s}}\) konvergent für \(s>0\) und gleich \[ \exp \left[ \{ 1+o(1)\} As^{-\alpha}\left\{ \log \frac {1}{s}\right\}^{-\beta}\right]\;\text{für}\;s \to 0. \] Dann ist für \(n\to \infty\) \[ A_n\sum_{v=1}^n a_v=\exp \left[ \{ 1+o(1)\} B\lambda_n^{\frac{\alpha}{1+\alpha}}(\log \lambda_n)^{- \frac{\beta}{1+\alpha}} \right], \] wobei \[ B=A^{\frac{1}{1+\alpha}} \alpha^{-\frac{\alpha}{1+\alpha}} (1+\alpha)^{1+\frac{\beta}{1+\alpha}}. \] (Daraus ergibt sich für Potenzreihen ein an sich interessantes “Taubersches Theorem”). Um von diesem Satz Gebrauch machen zu können, braucht man die Kenntnis des Verhaltens von \[ {\mathfrak Q}(s) =\sum \frac{1}{q^s} \] für \(s\to +0\), wobei über sämtliche Zahlen \(q\) von der obigen Form summiert wird. Diese Funktion läßt sich aber in der Form \[ {\mathfrak Q} (s) =\prod_1^{\infty} \frac{1}{1-l_n^{-s}} \] schreiben, wobei \(l_n\) das Produkt der \(n\) ersten Primzahlen bezeichnet. An der Hand dieser Darstellung ergibt sich leicht \[ {\mathfrak Q}(s) =\exp \left[ \{ 1+o(1)\} \frac{\pi^2}{6s\log \frac 1s}\right], \] woraus mit Hilfe des “Tauberschen Theorems” (1) folgt.
Wie schon in der ersten von den beiden besprochenen Arbeiten angedeutet wird, liefern solche “Taubersche Theoreme” auch die asymptotische Abschätzung von anderen wichtigen zahlentheoretischen Funktionen, deren Verhalten für große Werte des Argumentes bisher völlig unbekannt war. Es kommt hierbei in erster Linie die Anzahl \(p_r(n)\) der Zerlegungen von \(n\) in eine Summe von \(r\)-ten Potenzen positiver ganzer Zahlen in Betracht. Insbesondere wird für \(p_1(n)=p(n)\) (die Anzahl der Partitionen von \(n\)) nach einer nur skizzenhaft angegebenen (im wesentlichen mit der früheren identischen) Methode die Formel \[ (2) \quad \log p(n) \sim \pi \sqrt{\frac{2n}{3}} \] gewonnen.
In der zweiten Arbeit wird die asymptotische Untersuchung von \(p(n)\) auf systematische Weise unter Heranziehung von Methoden verschiedenster Art in Angriff genommen und zu einem wunderbar eleganten Abschluß gebracht.
Es wird zunächst gezeigt, daß Überlegungen elementarer Natur die Ungleichungen \[ \frac{H}{n}e^{2\sqrt n} < p(n) < \frac {K}{n}e^{2\sqrt{2n}} \] liefern, wobei \(H\) und \(K\) Konstante sind. Weiter wird das in der ersten Arbeit bewiesene “Taubersche Theorem” in Anwendung gebracht, indem durch ganz elementare Abschätzungen die Formel \[ (3) \quad \log g(x) = \log \{ (1-x)f(x)\} \sim \frac{\pi^2}{6(1-x)} \quad (0<x<1) \] hergeleitet wird, wobei \[ f(x) = 1+\sum_{n=1}^{\infty} p(n) x^n = \frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots} \] bezeichnet. Ein viel kräftigeres Hilfsmittel liefert jedoch die aus der Transformationstheorie der Modulfunktionen folgende Funktionalgleichung \[ (4) \quad f(x)= \frac{x^{\frac{1}{24}}}{\sqrt{2\pi}} \sqrt{\log \frac{1}{x}} \exp \left\{ \frac{\pi^2}{6\log \frac {1}{x}} \right\} f(x')\left( x'=\exp\left\{ -\frac{4\pi^2}{\log \frac {1}{x}} \right\}\right), \] woraus sich, wie die Verf. kurz andeuten, statt (3) \[ (3') \quad g(x) \sim \sqrt{\frac{1-x}{2\pi}}\exp \left\{ \frac{\pi^2}{6(1-x)} \right\} \] ergibt, was statt (2) die schärfere Formel \[ (2') \quad p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt 3} \exp \left\{ \pi \sqrt{\frac{2n}{3}} \right\} \] liefert.
Hiernach wird auf die wichtigste und weittragendste Methode eingegangen, die nebst der Funktionalgleichung (4) im wesentlichen in der passenden Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes besteht. Es ist nämlich \[ (5) \quad p(n) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma} \frac{f(x)}{x^{n+1}}dx= \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma'} \frac{f(x)-F(x)}{x^{n+1}}dx+ \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma''} \frac{F(x)}{x^{n+1}}dx, \] wobei \(F(x)\) eine beliebige, für \(| x| <1\) reguläre Funktion, \(\Gamma,\Gamma',\Gamma''\) beliebige geschlossene Kurven im Inneren des Einheitskreises bezeichnen, die außerdem \(x=0\) in ihrem Innern enthalten. Eine geschickte Wahl dieser Integrationswege, wobei eine seitdem berühmt gewordene Einteilung des Kreises vom Radius \(1-\frac{\beta}{n}\) (\(\beta\) ist konstant) benützt wird, bei welcher die Fareyschen Reihen eine Rolle spielen, ermöglicht eine günstige Abschätzung der Integrale (5). Hierbei wird die Hilfsfunktion \(F(x)\) derart gewählt, daß sie eine möglichst einfache Structur hat und z. B. für \(x\to 1\) ein ähnliches Verhalten wie \(f(x)\) aufweist. Die Funktionalgleichung (4) suggeriert die Wahl \[ F(x) = \frac{1}{\pi \sqrt 2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dn} \left\{ \frac{\cosh C\lambda_n-1}{\lambda_n} \right\} x^n, \] wobei \[ C=\pi \sqrt{\frac{2}{3}}, \quad \lambda_n=\sqrt{n-\frac{1}{24}}, \] ist. Es ergibt sich dann das folgende Endresultat: Es sei \[ \Phi_q(n)= \frac{\sqrt q}{2\pi\sqrt 2}\frac{d}{dn} \left( \frac{e^{C\lambda_n/q}}{\lambda_n} \right),\;A_q(n)= \sum_{(p)}\omega_{p, q}\cdot e^{-2np\pi i/q}, \] wobei \(p\) sämtliche positive ganze Zahlen, die kleiner als \(q\) und zu \(q\) teilerfremd sind, durchläuft, und die \(\omega_{p, q}\) leicht angebbare Größen bezeichnen. Es sei ferner \(\alpha>0\) fest und \(\nu=[\alpha \sqrt n]\). Dann ist \[ p(n)= \sum_{q=1}^{\nu}A_q(n)\Phi_q(n)+O(n^{-\frac {1}{4}}), \] so daß die zu dem ersten Glied nächstgelegene ganze Zahl genügend große \(n\) den genauen Wert von \(p(n)\) angibt. Aber schon die ersten Glieder dieser Summe liefern eine brauchbare Annäherung von \(p(n)\), wobei allerdings der Fehler von exponentialem Charakter ist (er wächst über alle Grenzen für \(n\to \infty\)). Die sechs ersten Glieder liefern z. B. \(p(200)\sim 3 972999029388, 004\), während nach den Rechnungen von MacMahon \(p(200)\sim 3972999029388\) ist. Einige Bemerkungen, Vermutungen höchst interessanter Art, sowie Anwendungen der Methode auf andere zahlentheoretische Funktionen schließen die Arbeit. Es liegen fünf Tafeln bei, die von MacMahon und Darling berechnet worden sind. Tafel IV enthält z. B. die Werte von \(p(n)\) für \(n=1\) bis 200.

MSC:

11P82 Analytic theory of partitions

Citations:

JFM 45.0286.02
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