Über Kriterien für die algebraischen Zahlen. (German) JFM 46.0245.02

Furtwängler, Ph.

Wien. Ber. 126, 299-309 (1917).

Im Anschluß an das Kriterium Minkowskis behandelt der Verf. eine algebraische Zahl \(\alpha\) vom \(n\)-ten Grade und setzt \[ \xi=x_1+\alpha x_2+\alpha^2 x_3+\cdots +\alpha^{n-1}x_n. \] Man unterwerfe die ganzzahligen Koordinaten \(x_i\) der Bedingung \(| x_i| \leqq t\) und bestimme das Minimum \(\xi_t\) von \(| \xi| \). So erhält man eine Reihe von Minima \(\xi_1, \xi_2, \dots\). Aus dieser Reihe streiche man alle diejenigen, die von den \(n-1\) vorhergehenden linear abhändlung sind. Die neue Reihe (Hauptminima) \[ \varphi_1, \varphi_2, \dots \] der Minima hat daher die Eigenschaft, daß je \(n\) aufeinanderfolgende linear unabhängig sind. Das Kriterium lautet dann so: \(\alpha\) ist stets dann und nur dann eine algebraische Zahl \(n\)-ten Grades, wenn die zu \(\alpha\) gehörige Reihe der Hauptminima nicht abbricht, und unter den Quotienten \(\frac{\varphi_{i+1}}{\varphi_i}\) nur eine endliche Anzahl von verschiedenen vorkommt.

Reviewer: Fueter, Prof. (Zürich)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 8. Algebraische Zahlen. Analytische Zahlentheorie.