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Über das Verhalten der Ideale des Grundkörpers im Klassenkörper. (German) JFM 46.0246.01
Für den Hilbert-Furtwänglerschen Klassenkörper sind die von Hilbert aufgestellten Sätze jetzt bewiesen bis auf die Aussage, daß im Klassenkörper alle Ideale des Grundkörpers Hauptideale werden. Das ist vom Verf. bisher nur für zyklische Klassengruppen bewiesen. In der Arbeit wird die Richtigkeit des Satzes auch für den Fall gezeigt, daß die Klassengruppe nur zwei Basisklassen besitzt, die Klassenzahl jeden Primfaktor aber auch nur zweimal enthält. Besonders ausführlich auch in Hinsicht auf Zahlbeispiele wird die Primzahl 2 behandelt; im Verlauf des Beweises ergibt sich der bemerkenswerte Satz: Konstruiert man zu einem Körper \(k\), dessen Klassenzah genau durch 4 teilbar ist, den Klassenkörper \(Kk\) und hierzu wieder den Klassenkörper \(K^2k\), so ist dessen Klassenzahl ungerade.

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References:
[1] D. Hilbert, Über die Theorie der relativ Abelschen Zahlkörper. Gött. Nachr. 1898, p. 378, Satz 10. · JFM 33.0218.01
[2] Ph. Furtwängler, Allgemeiner Existenzbeweis usw., Math. Ann. 63 (1906), p. 1 (§ 8). · JFM 37.0243.02 · doi:10.1007/BF01448421
[3] Im Fallel=2 wird angenommen, daß die Klassenzahl im weiteren und engeren Sinne gleich 4 sei.
[4] D. Hilbert, l. c. Über die Theorie der relativ Abelschen Zahlkörper. Gött. Nachr. 1898, p. 378, Satz 16b und Satz 16c (von letztem Satz das kursiv Gedruckte). · JFM 33.0218.01
[5] Ph. Furtwängler, l. c. § 6 und Gött. Nachr. 1907, § 4. · JFM 37.0243.02 · doi:10.1007/BF01448421
[6] Ph. Furtwängler, Eine charakteristische Eigenschaft des Klassenkörpers, Gött. Nachr. 1906 und 1907.
[7] Ph. Furtwängler, Allgem. Beweis d. Zerlegungssatzes usw. Gött. Nachr. 1911.
[8] Es ist auch gruppentheoretisch leicht zu zeigen, daß die beiden einzigen nicht kommutativen Gruppen von der Ordnung 8 diejenigen sind, die der Relativgruppe vonK 2 k bei dem TypusB undC mitn=1 entsprechen; TypusB entspricht der Hamiltonschen Quaternionengruppe.
[9] Da die Anzahl der ambigen Komplexe gleich 1 ist; vgl. Ph. Furtwängler, Über die Reziprozitätsgesetze usw., Math. Ann. 58, p. 43.
[10] Ph. Furtwängler, Über die Konstr. des Klassenkörpers usw., Gött. Nachr., 1903, p. 295, Satz 8. · JFM 34.0236.01
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