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Allgemeine Theorie der Kongruenzklassengruppen und ihrer Invarianten in algebraischen Körpern. (German) JFM 46.0251.03

Jede rationale Zahl \(A\) kann im Bereich der Primzahl \(p\) in der Form dargestellt werden: \[ A=p^{\alpha}\eta (p), \] wo \[ \eta=c_0+c_1p+c_2p^2+\cdots, c_0\not\equiv 0 (\text{mod.}p) \] eine \(p\)-adische Einheit ist. Der Verf. beweist auf elementare Weise, daß jedes \(\eta\) sich in der Form darstellen, läßt: \[ \begin{aligned} & \eta=w^b(1+p)^c\;\quad \left( \begin{matrix}\l\\ b=0, 1, \dots, p-2 \\ c=c_0+c_1p+\cdots \end{matrix} \right)\quad p\neq 2,\\ & \eta=(-1)^b5^c\;\quad\quad \left(\begin{matrix}\l\\ b=0, 1 \\ c=c_0+c_12+\cdots \end{matrix} \right)\quad p=2.\end{aligned} \] Dabei ist \(w\) im Falle eines ungeraden \(p\) eine der \(\varphi(p- 1)\) primitiven \(p\)-adischen Einheitswurzeln der \(p\)-adischen Gleichung \[ x^{p-1}-1=0(p). \] In diesem Falle können alle \(\eta\) durch die Potenzen eines einzigen erhalten werden. Als Anwendung ergibt sich sofort die Untersuchung der rationalen Einheiten \(\eta\) für eine beliebige Potenz \(p^{s+1}\) von \(p\) als Modul.
Ist entsprechend \(\pi\) eine nur durch die 1. Potenz des Primideals \(y\) eines algebraischen Körpers teilbare ganze Zahl des Körpers, so ist jede Zahl \(A\) derselben in der Form darstellbar \[ A=\pi^{\alpha}\eta({\mathfrak p}), \] wo \[ \eta=\gamma_0+\gamma_1\pi+\gamma_2\pi^2+\cdots{\mathfrak p})\;\gamma_0\not \equiv (\text{mod}. {\mathfrak p}) \] eine \(\pi\)-adische Einheit ist. Der Verf. kann genau in der obigen Weise, nur durch entsprechend kompliziertere Rechnungen beweisen, daß sich jede \(\pi\)-adische Einheit \(\eta\) in der Form darstellen läßt: \[ \eta=w^b\eta_0^{c_0}\eta_1^{c_1}\dots \eta_{\lambda}^{c_2}\quad \left\{\begin{aligned} b&=0, 1, \dots, p^f-2 \\ c_0&=0, 1, \dots, p^r-1 \\ c_i&=c_i^{(0)}+c_i^{(1)}p+\cdots \end{aligned} \right\}. \] Dabei ist \(w\) eine primitive \((p^f-1)\)-te \(\pi\)-adische Einheitswurzel, \(p^f\) die Norm von \({\mathfrak p, p}^e\) die größte in \((p)\) enthaltene Potenz von \({\mathfrak p}, \lambda=ef, p^{\nu- 1}\) die größte in \(e\) enthaltene Potenz von \(p\) und \(\eta_1, \dots, \eta_{\lambda}\) ein bestimmtes Fundamentalsystem von \(\pi\)-adischen Einheiten.
Die zweite Arbeit baut sich auf der ersten auf und rekapituliert deshalb zunächst das gefundene Hauptresultat. Im regulären Falle \(\eta_0=1\) ergibt die Darstellung aller \(\eta\) sofort, daß jedes \(\eta\) einer Kongruenz genügt: \[ \eta\equiv w^b\eta_1^{c_1}\eta_2^{c_2}\dots \eta_{\lambda}^{c_{\lambda}} (\text{mod}.{\mathfrak p}^{s+1})\;\left( \begin{aligned} & b=0, 1, \dots, p^f-2 \\ &c_0=0, 1, \dots, p^{\mu_i}-1 \end{aligned} \right), \] wo \(P_i=p^{\mu_i}\) der kleinste Exponent ist, für den \[ \eta^{P_i}\equiv 1(\text{mod}. {\mathfrak p}^{s+1}) \] ist. Die \(\lambda+1\) Zahlen \(w, \eta_1, \dots, \eta_{\lambda}\) bilden daher die Basis einer Abelschen Gruppe. Dabei ist \[ \mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_{\lambda}=f_s. \] Der Verf. bestimmt noch genau die Invarianten \(p^{\mu_i}\) und zeigt, wie sich aus denselben diejenigen für den Modul \({\mathfrak p}^{s+2}\) ergeben. Damit sind die Kongruenzklassen \((\text{mod.}{\mathfrak p}^{s+1})\) völlig bestimmt. Schließlich werden noch die Abweichungen für den Ausnahmefall \(\eta_0\neq 1\) angegeben, ohne jedoch das Problem vollkommen zu lösen.
Die dritte Arbeit bringt nunmehr die Erledigung des Ausnahmefalles. Auch jetzt gilt für jede Einheit \[ \eta\equiv w^b\eta_0^{c_0}\eta_1^{c_1}\dots \eta_{\lambda}^{c_{\lambda}} (\text{mod}. {\mathfrak p}^{s+1}),\;\left(\begin{aligned} b&=0, 1, \dots, p^f-2 \\ c_0&=0, 1, \dots, (p^{\mu_0}, p^{\nu_0}) \\ c_i&=0, 1, \dots, p^{\mu_0},-1 \end{aligned} \right), \] wo \((p^{\mu_0}, p^{\nu_0})\) der größte gemeinsame Teiler dieser beiden Potenzen ist, und \(p^{\mu_i} (i=0, 1, \dots, \lambda)\) wieder die Exponenten bedeuten, zu denen die \(\eta_i (\text{mod.}{\mathfrak p}^{s+1}\) gehören. Allein die \(\eta_i\) sind \((\text{mod.}{\mathfrak p}^{s+1}\)) nicht voneinander unabhängig, sobald \(s+1>s_1\), wo \(s_k\) der “Irregularitätsgrad” von \(\eta_k\) ist, d. h. der Grad von \(\eta_k^{p^{\chi}}\) ist, falls \(p^{\chi}\) die kleinste Potenzist, für die \(\overline{k}p^{\chi}> \left[ \frac{e}{p-1} \right]\) ist (\(\overline k\) der Grad von \(\eta_k\)). Ist dagegen \(s_k<s+1\leqq s_{k+1}\), so muß eine andere Auswahl der \(\eta_i\) getroffen werden. Es gelingt auch jetzt eine Basis \[ w, \overline{\eta_0}, \overline{\eta_1}, \dots, \overline{\eta_k}, \eta_{k+1}, \dots, \eta_{\lambda} \] zu finden. Auch in diesem Fall werden die Invarianten \(p^{\overline{\mu_0}}, p^{\overline{\mu_1}}, \dots p^{\overline{\mu_k}}, p^{\mu_{k+1}},\dots, p^{\mu_{\lambda}}\) bestimmt. Damit ist das Kongruenzklassenproblem \((\text{mod.}{\mathfrak p}^{s+1})\) in einem algebraischen Körper allgemein erledigt.

MSC:

11Rxx Algebraic number theory: global fields
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