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Über die \(L\)-Funktionen und den Dirichtletschen Primzahlsatz für einen beliebigen Zahlkörper. (German) JFM 46.0256.03
In den beiden Arbeiten wird ein Zusmmenhang zwischen der zu einem algebraischen Zahlkörper \(n\)-ten Grades gehörigen Zetafunktion \(\zeta_k(s)\) und den Thetafunktionen von \(n\) Variabeln aufgedeckt, aus dem sich die Fortsetzbarkeit von \(\zeta_k(s)\) in die ganze Ebene sowie das Bestehen einer der Riemannschen analogen Funktionalgleichung ergibt. Für den reellen quadratischen Körper mit der Grundzahl \(d\) und der Grundeinheit \(\varepsilon(>1)\) wird die Vermittelung zwischen diesen Funktionen durch die für jede von Null verschiedene Körperzahl \(\mu\) geltende Identität hergestellt \[ \frac{\Gamma\left( \frac{s}{2}\right)^2} {| \mu\mu'| ^s}= \iint_0^{\infty} e^{-t\mu^2-t'\mu^{\prime 2}}(tt')^{\frac{s}{2}-1} dtdt' =\iint (tt')^{\frac{s}{2}-1} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-t_\varepsilon^{2n}\mu^{2-t'}\varepsilon^{\prime 2n}}\mu^{\prime 2}dtdt', \] wobei dieses letzte Integral nur über den Winkelraum \[ t, t'>0, \quad \varepsilon^{\prime 2}<\frac{t}{t'}<\varepsilon^2 \] zu erstrecken ist.
Hieraus ergibt sich eine Integraldarstellung der Funktion \[ \Gamma \left( \frac {s}{2}\right)^2 \sum_{(\mu)}\frac{1}{| N(\mu)| ^2} \] durch die zweifache Thetareihe \[ \sum_{\mu} e^{-t\mu^2-t'\mu^{\prime 2}}, \] worin \((\mu)\) alle verschiedenen ganzen Hauptideale, d. h. alle ganzen nicht assoziierten Körperzahlen, während in der letzten Summe \(\mu\) alle ganzen Körperzahlen durchläuft. Aus der Transformationsformel für die Thetareihe ergibt sieh dann, wenn man die entsprechenden Ansätze für den allgemeinen Körper \(n\)-ten Grades macht, die Aussage: \[ A^s\Gamma(s)^{r_2}\Gamma \left( \frac{s}{2}\right)^{r_1} \zeta_k(s), \] wo \[ A=2^{-r_2}\pi^{-\frac{n}{2}}| \sqrt d|, \] ist überall im Endlichen regulär, außer bei \(s=0, 1,\) wo ein Pol erster Ordnung vorhanden ist, und bleibt ungeändert bei Vertauschung von \(s\) mit \(1-s\).
In der zweiten Arbeit wird die Methode auf die \(L\)- Funktionen eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers übertragen, welche mit Hilfe von Restklassencharakteren \(\chi({\mathfrak a})\) noch einem ganzen Idealmodul \(f\) gebildet sind, \[ L(s, \chi)=\sum_{\mathfrak a} \frac{\chi({\mathfrak a})}{N({\mathfrak a})^s}. \] Die Rechnung wird durchgeführt nur für den Fall des gewöhnlichen, weitesten Äquivalenzbegriffes. Es besteht auch für dieses \(L(s, \chi)\) eine Funktionalgleichung. Vermöge der so erwiesenen Fortsetzbarkeit von \(L(s, \chi)\) in die ganze endliche Ebene wird dann auf Grund eines bekannten Landauschen Satzes über Dirichletsche Reihen das Nichtverschwinden der \(L\)-Reihen im Punkte \(s=1\) gezeigt. Dadurch werden nun alle diese Funktionen den Methoden der analytischen Zahlentheorie zugänglich, insbesondere ergibt sich die Existenz unendlich vieler Primideale in jeder dieser Klassen mod. \(f\), sowie eine asymptotische Abschätzung für deren Anzahl.

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