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The average order of the arithmetical functions \(P(x)\) and \(\Delta(x)\). (English) JFM 46.0262.01

Die Arbeit ist der Bestimmung der mittleren Größenordnung der beiden im vorhergehenden Referat definierten Funktionen \(P(x)\) und \(\Delta(x)\) gewidmet. Das Resultat ist:
\[ \frac{1}{x}\int_1^x| P(\tau)| \,d\tau= O(x^{\frac {1}{4}+\varepsilon})\;\text{und}\;\frac{1}{x} \int_1^x| \Delta(\tau)| \,d\tau= O(x^{\frac{1}{4}+\varepsilon}) \]
für jedes positive \(\varepsilon\).
Die Methode ist bei beiden Problemen wesentlich dieselbe. Ein Hauptpunkt ist die Benutzung der Cesàroschen Mittel gebrochener Ordnung. Ist \(r(n)\) die Anzahl der Auflösungen von \(u^2+v^2=n\), so wird aus der oben erwähnten Darstellung von \(R(x)=\sum_{n=1}^x r(n)\) zunächst für
\[ R_{\alpha}(x)= \sum_{n=1}^x(x-n)^{\alpha}r(n)\;S_{\alpha}(x)=R_{\alpha}(x)- \pi\sum_{n=1}^x(x-n)^{\alpha}\;(\alpha>0) \]
die Reihe
\[ R_{\alpha}(x)= \frac{\pi x^{1+\alpha}}{1+\alpha}-x^{-\alpha}+ \pi^{-\alpha}\Gamma(1+\alpha) x^{\frac{\alpha+1}{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{r(n)}{n\frac{\alpha+1}{2}}I_{1+\alpha}(2\pi\sqrt{nx} \]
hergeleitet. Die asymptotische Entwicklung der Besselschen Funktion \(I_{1+\alpha}(x)\) und die Untersuchung der dadurch entstehenden Dirichletschen Reihen mit der Exponentenfolge \(\sqrt n\) ergibt dann die mittlere Größenordnung von \(S_{\alpha}(x)\) zu \(O^{\left( x^{\frac {1}{4}+\frac{\alpha}{2}} \right)}\) für jedes \(\alpha>0\), und vermöge eines allgemeinen Grenzwertsatzes folgt daraus auch die mittlere Größenordnung von \(S_0(x)\), d. h. \(P(x)\).

MSC:

11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
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