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Abschätzungen von Charaktersummen, Einheiten und Klassenzahlen. (German) JFM 46.0266.02

Für eigentliche Restklassencharaktere \(\chi(m)\) mod. \(k\) (\(k, m\) ganze rationale Zahlen) werden Summen die \[ s_n=\chi(1)+\chi(2)+\cdots+\chi(n), s=\text{Max}. | s_n| \] asymptotisch bezüglich \(k\) abgeschätzt, wobei durch Verschärfung der früher dabei von Pólya benutzten Methode sich z. B. ergibt \[ \lim_{k=\infty}\sup \frac{s}{\sqrt k \log k} \leqq \frac{1}{2\pi\sqrt 2}\;\text{statt}\;\leqq \frac{1}{2\pi} \] für \(\chi(-1)=1\).
Im §2 werden zum ersten Male in beliebigen Körpern Abschätzungen für Einheiten gegeben: Es gibt eine nur vom Körpergrade \(n\) abhängige Zahl \(A_n\), so daß in jedem Körper \(n\)-ten Grades (der unendlich viele Einheiten besitzt) eine Einheit \(\eta\) existiert, die keine Einheitswurzel ist und der Bedingung \[ | \log| \eta^{(k)}| | \leqq A_n| \sqrt d| \log^{n-1}| d| \] für alle konjugierten Zahlen \(\eta^{(1)}, \dots, \eta^{(n)}\) genügt. Der Beweis beruht auf der Konstruktion einer besonderen Kette von ganzen Zahlen mit Norm \(< | \sqrt d| \).

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Full Text: EuDML