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Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. (German) JFM 46.0278.06
Sind \(\alpha_1<\alpha_2<\alpha_3<\dots\) unendlich viele reelle Zahlen, die auf einer Geraden markiert sind, und rollt man die Gerade auf einem Kreis des Umfanges 1 auf, so fragt sich, ob die Punkte auf dem Kreis “überall gleich dicht” liegen. Ist \(f(x)\) eine im Riemannschen Sinne integrierbare Funktion der Periode 1, so ist, falls die \(\alpha\) gleich dicht liegen \[ \lim_{n\to\infty} \frac {1}{n}\sum_{h=1}^{n} f(\alpha_h)=\int_0^1 f(x)\,dx. \] Nimmt man für \(f(x)\colon e^{2\pi imx}=e(mx)\), so ergibt sich als notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, daß die \(\alpha\) gleich dicht liegen, die Tatsache, daß für jedes ganze rationale \(m\neq 0\) die Limesgleichung: \[ \sum_{h=1}^n e(m\alpha_h)=o(n) \] erfüllt sein muß. Daraus folgt, daß z. B. \(\xi, 2\xi, 3\xi, \dots, n\xi, \dots\) überall gleich dicht (mod 1) sind, falls \(\xi\) eine irrationale Zahl bedeutet. Diese Sätze und Kriterien lassen ohne weiteres auf einen \(p\)-dimensionalen Raum übertragen. Das Resultat, daß die Punkte \[ (n\xi_1, n\xi_2, \dots, n\xi_p)\;n=1, 2, 3, \dots \] überall dicht mod 1 liegen, falls zwischen den \(\xi\) keine linear ganzzahlige Relation besteht, wird vom Verf. auch für die Verweilszeit eines mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden sich bewegenden Punktes formuliert, sowie in einigen anderen Arten. Ganz entsprechend werden die Resultate, wenn man, statt die \(x_i\) linear von der Zeit \(t\) abhängen zu lassen, setzt \[ x_i=\varphi_i(t)\;(i=1, 2, \dots, p), \] wo die \(\varphi_i(t)\) beliebige Polynome von wenigstens zweitem Grade sind. Nimmt man dagegen statt des kontinuierlichen Parameters \(t\) einen diskreten Parameter \(n\), der die natürlichen Zahlen durchläuft, so entstehen neue Schwierigkeiten. Der Verf. beweist: Ist in einem Polynom \(q\)-ten Grades \[ \varphi(z)=\alpha_qz^q+\alpha_{q-1}z^{q-1}+\cdots\alpha_0 \] mindestens einer der Koeffizienten \(\alpha_q, \alpha_{q-1}, \dots, \alpha_1\) irrational, so gilt die Limesgleichung \[ \sum_{h=0}^n e(\varphi(h))=o(n). \] Somit liegen die Zahlen \(\varphi(1), \varphi(2), \dots,\) (z. B. \(1^2\xi, 2^2\xi, 3^3\xi, \dots\)) (mod 1) überall gleich dicht, wenn nicht alle Koeffizienten von \(\varphi(z)-\alpha_0\) rational sind. Die gleichen Sätze gelten, wieder für den \(p\)-dimensionalen Raum mod 1. Der Ausnahmefall, der eintritt, falls zwischen den \(p\) Polynomen eine ganzzahlige Relation besteht: \[ \varphi(z)=m_1\varphi_1(z)+m_2\varphi_2(z)+\cdots+m_p\varphi_p(z), \] so daß \(\varphi(z)\) mit Ausnahme des konstanten Gliedes rationale Koeffizienten hat, wird vom Verf. einer besonderen Untersuchung unterworfen. (Vgl. die mit der vorliegenden Arbeit in Zusammenhang stehenden Arbeiten von G. H. Hardy und J. E. Littlewood [Acta Math. 37, 155–191 (1914), 37, 193–239 (1914); JFM 45.0305.03].
Im Anhang wird ein Satz über diskontinuierliche Gruppen in “geschlossenen Euklidischen Räumen” bewiesen.

MSC:
11J71 Distribution modulo one
11K06 General theory of distribution modulo \(1\)
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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] P. Bohl, Cr. J. 135 (1909), S. 189-283, insbesondere S. 222. W. Sierpi?ski, Krakau, Ak. Anz., math.-naturw. Kl., A, Jan. 1910, S. 9. H. Weyl, Rend. Circ. Mat. Palermo 30 (1910), S. 406.
[2] Vgl. H. Bohr und J. E. Littlewood, The Riemann Zeta-function and the Theory of Prime Numbers (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics; noch nicht erschienen).
[3] Die Periodensysteme von Funktionen reeller Variablen, Berichte d. K. Preuß. Ak. d. W. zu Berlin 1884, S. 1071-1080, und: Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen, ebenda 1884, S. 1179-1193, 1271-1299. (Werke III 1, S. 32-109.)
[4] Das Problem, die Axiome der Euklidischen wie Nicht-Euklidischen Geometrie so zu formulieren, daß sie nur über die Umgebung eines jeden Punktes (deren Ausdehnung unbestimmt bleibt) etwas aussagen, und dann zu untersuchen, welche im Sinne der Analysis situs verschiedenen Räume diesen Axiomen genügen, wird nach den Urhebern dieser Fragestellung das ?Clifford-Kleinsche Problem der Raumformen? genannt. Vgl. namentlich Klein, Über Nicht-Euklidische Geometrie, Math. Ann. 37.
[5] Mouvement d’un point abandonné à l’intérieur d’un cube, Rend. Circ. Mat. Palermo 36 (1913).
[6] Vgl. hierzu einen von mir auf der Frühlingstagung 1914 der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft gehaltenen Vortrag ?Une application de la théorie des nombres à la mécanique statistique et à la théorie des perturbation?, Enseignement mathématique No. 6, 16{\(\deg\)} Année (1914).
[7] Acta Mathematica 37, S. 193-238, Theorem 2. 14 auf S. 213. Diese Arbeit ist die Fortsetzung der auf S. 155 beginnenden Abhandlung ?Some problems of Diophantine Approximations?, deren 3. Teil gegenwärtig noch aussteht.
[8] Vgl. Hardy und Littlewood, Theorem 7 des Cambridger. Vortrags.
[9] Diophantische Approximationen (Leipzig 1907), § 14; kürzer ist das Verfahren beschrieben z B. auf S. 78 meines Buches ?Die Idee der Riemannschen Fläche? (Leipzig 1913).
[10] Vgl. Werke III 1, S. 104-105.
[11] Acta Math. 37, S. 156. · JFM 40.0098.04
[12] Auf Grund dieses selben Lemmas habe ich früher das sog. Riesz-Fischersche Theorem bewiesen. Math. Ann. 67 (1909), S. 243f.
[13] Für den Fall? n =a n (a eine ganze positive Zahl) wurde dies, in noch wesentlich schärferer Form, von den Herren Hardy und Littlewood bewiesen, Act. Math. 37, S. 183 ff. Die allgemeine Frage ist, unabhängig von mir, von Herrn Towler, einem Schüler der Herren Hardy und Littlewood, in den Londoner Proceedings weiter verfolgt worden.
[14] Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume, Math. Ann. 70 (1911), S. 333. Vgl. auch Frobenius, Ber. d. K. Preuß. Akad. d. Wissensch. 1911, S. 663.
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