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Problèmes de géométrie arithmétique. (French) JFM 46.0281.01
Mit arithmetischer Geometrie oder Geometrie der Zahlen bezeichnet der Verf. jede Theorie, bei der sich mit Hilfe geometrischer Betrachtungen zahlentheoretische Resultate ableiten lassen. Kann man z. B. auf zwei verschiedene Weisen abzählen, wie oft irgendein geometrisches Ereignis in einem \(n\)-dimensionalen Raum eintritt, so wird man durch Gleichsetzen der Ausdrücke für diese Anzahl zu einem zahlentheoretischen Satz geführt, vorausgesetzt, daß diese Ausdrücke nicht identisch sind. Die vom Verf. untersuchten Probleme beziehen sich auf den 2- und 3-dimensionalen Raum.
Es bezeichne \(t\) den größten gemeinsamen Teiler der drei ganzen Zahlen \(a, b, c\) \[ t\sim (a, b, c). \] Jedem Zahlentripel \(a, b, c\) entspricht im Raum ein Punkt mit den Koordinaten \(x=a, y=b, z=c\). Zwei Punkte sind äquivalent, wenn ihre Koordinaten denselben größten gemeinsamen Teiler haben. Als erste Aufgabe stellt sich Verf. die Bestimmung der Anzahl \(N_t\) äquivalenter Punkte \((\xi, \eta, \zeta)\) mit demselben gr. gem. Teiler \(t\sim (\xi, \eta, \zeta)\) in einem Rechtkant mit den Seiten \(k, m, n\). Es ergibt sich in ähnlicher Weise, wie dies schon von Kronecker für den Fall zweier Dimensionen geschehen ist, die Formel \[ N_t=\sum_{d=1}^{\infty}\varepsilon_d \left[\frac{n}{d\cdot t}\right] \left[\frac{k}{d\cdot t}\right] \left[\frac{m}{d\cdot t}\right], \] wo \(\varepsilon_d\) den Möbiusschen Keoffizienten bezeichnet. Dann folgen Verallgemeinerungen der Eulerschen Funktion \(\varphi(n)\) im 2- und 3-dimensionalen Gebiet, von denen besonders die letztere interessiert: Es bezeichne \(\varPsi(i, k)\) für zwei ganze Zahlen \(i\) und \(k\) die Anzahl der Systeme \[ (i, k, 1), (i, k, 2), \dots (i, k, i), \] die der Zahl 1 äquivalent sind. Es ergibt sich der Ausdruck \[ \Phi(i, k)=\sum_{\delta(i, k} \varepsilon_{\delta}\left[ \frac{i}{\delta} \right], \] wo \((i, k)\) der größte gemeinsame Teiler von \(i\) und \(k\) ist. Indem es dem Verf. nun gelingt, auf zwei verschiedene Weisen festzustellen, wieviel Punkte in einem Würfel der Einheit äquivalent sind, gelangt er zu folgender Relation \[ 2\sum\Phi(i, k)=\sum_{d=1}^{\infty}\varepsilon_d \left[ \frac {n}{d}\right]^2 \left\{ \left[ \frac{n}{d}\right] +1\right\} \] \[ (i, k=1, 2, \dots, n). \] Das entsprechende 2-dimensionale Problem führt zu der Formel \[ \sum_{j=1}^n\varphi(j)= 2+2\sum_{d=1}^{\infty}\varepsilon_d \left[ \frac {n}{2d} \right]^2 \left\{ \left[ \frac{n}{d}\right]- \left[ \frac {n}{2d} \right]-1\right\}. \] Weitere Relationen ergeben sich mit Hilfe eines allgemeinen Satzes, der für zwei Dimensionen schon von Liouville und Dedekind abgeleitet worden ist: Es seien \(n, k, h\) drei beliebige ganze Zahlen und \(f(n, k, h)\) irgendeine Funktion dieser drei Veränderlichen, \(\varrho(n, k, h)\) habe den Wert 1, wenn \((n, h, h)\sim 1\) ist, in allen anderen Fällen habe es den Wert 0, ferner bezeichne \(d\) einen gemeinsamen Teiler von \(k\) und \(n=d\cdot d'\). Nun definiere man zwei Funktionen \(F\) und \(G\) durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} F(n, k, d)&=\sum_{\mu=1}^{d'}f(n, k, \mu d),\\ G(n, k, d)&=\sum_{\mu+1}^{d'}\varrho(d', k, \mu)\cdot f(n, k, \mu d).\end{aligned} \] Dann ergeben sich folgende Beziehungen, \[ \begin{aligned} G(n, k, 1)&=\sum_{d\mid(n, k)}\varepsilon_d F(n, k, d),\\ F(n, k, 1)&=\sum_{d\mid(n, k)} G(n, k, d),\end{aligned} \] von denen jede die Umkehrung der anderen ist. Durch besondere Wahl der Funktion \(f\) ergeben sich nun zahlreiche interessante zahlentheoretische Relationen, von denen als einige der wichtigsten hier angeführt seien: \[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \Phi(n, k) & =n\sum_{d\mid n} \left[ \tfrac{m}{d}\right] \tfrac{\varepsilon_d}{d},\\ \sum_{\overset{(n, k, \tau)\;\sim 1]}{(\tau\leqq n)}} \tau & =\tfrac{n}{2}\left[ \sum_{d\mid(n, k)} \varepsilon_d\, \tfrac {n}{d} + \sum_{d\mid (n, k)} \varepsilon_d \right],\\ 2\sum_{k=1}^m \sum_{\overset{(n, k, \tau)\;\sim 1]}{(\tau\leqq n)}} \tau & = n^2\sum_{n\mid d} \left[ \tfrac{m}{d}\right] \tfrac{\varepsilon_d}{d}+ n\sum_{d\mid n}\left[ \tfrac{m}{d} \right]\varepsilon_d,\\ \sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^K \sum_{\overset{(n, k, \tau)\;\sim 1]}{(\tau\leqq n)}} \tau & =\tfrac{1}{6}\sum_{(dd'\leqq N)} \varepsilon_d \left[ \tfrac{K}{d}\right] dd'(d'+1)(d'+2).\end{aligned} \] Als letzte Anwendung bringt Verf. die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit dafür, daß der größte gemeinschaftliche Teiler von drei vorgelegten ganzen Zahlen gleich 1 ist. Es ergibt sich dafür mit Hilfe analytischer Betrachtungen der Wert \[ W=\tfrac{1}{\sum_{d=1}^{\infty}\tfrac{1}{d^3}}= \tfrac{1}{1,202\dots}\sim \tfrac{5}{6}. \] Dieses Problem ist für den Fall zweier Zahlen schon von Dirichlet behandelt worden.

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