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A general method of summation of divergent series. (English) JFM 46.0332.03
\(f_i(n,x)\) sei für alle positiven Werte von \(n\) und \(x\) definiert \((i=0,1,2,\dots);\;\sum_0^\infty a_n\) sei eine beliebige konvergente oder divergente Reihe. Wenn \[ \lim_{x\to\infty}\left[\lim_{x\to\infty}\sum_{i=0}^\infty a_if_i(n,x)\right]=S \] ist, sagt der Verf. daß \(\sum_0^\infty a_n\) summierbar ist \((A_f)\) durch die Summationsfunktionen \(f_i(n,x)\) und daß \(S\) ihre Summe ist. Der Verf. leitet dann Sätze über Addition, Integration und Differentiation von summierbaren Reihen ab. Dann beweist er, daß wenn: 1. \(f_i(n,x)>f_{i+1}(n,x)>0\;(i=0,1,2,\dots)\) 2. \(\lim_{x\to\infty}[\lim_{x\to\infty} f_i(n,x)]=1\), dann ist jede konvergente Reihe, die die Summe \(S\) hat, summierbar \((A_f)\) mit der Summe \(+\infty\) oder \(-\infty\). Diese allgemeine Summationsmethode enthält die bekannten Methoden von Cesàro, Borel, de la Vallée Poussin etc. als Spezialfälle.
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