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Mémoire sur la totalisation des nombres dérivées non sommables. (French) JFM 46.0382.01

Die beiden Abhandlungen bilden miteinander den dritten und letzten Teil einer zusammenhängenden Arbeit, die einen hochbedeutsamen Fortschritt der reellen Funktionentheorie darstellt. Der Verf. löst darin das Problem, aus einer Funktion, von der man weiß, daßsie eine Ableitung ist, durch einen Rechenprozeß(Totalisation) die primitive Funktion zu finden. Von dem Inhalt der Abhandlungen im üblichen Rahmen eines Referates eine Vorstellung zu geben, ist nicht möglich. Es sei daher nur einiges wenige angedeutet und im übrigen auf die Originale verwiesen.
Die erste Abhandlung studiert von verschiedenen Seiten die Variation der stetig \(n\) Funktionen auf perfekten Mengen und bringt die für das folgende wichtigen Begriffe der Funktionen “à variation réductible sur tout ensemble parfait” und “à variation résoluble”.
In der zweiten Abhandlung wird zunächst gezeigt, daßman aus jeder Ableitung die primitive Funktion erhalten kann durch eine wohlgeordnete Reihe von höchstens abzählbar vielen “totalisierenden Schritten” deren jeder (von einfachen Additionen abgesehen) aus bis zu abzählbar vielen 1. Integrationen nach Lebesgue, 2. Summationen absolut konvergenter Reihen und 3. stetigen Grenzübergängen besteht. Darauf folgt nach einigen Sätzen über die Totalisation und einer Anwendung auf trigonometrische Reihen der wichtige Nachweis, daßman, wenn \(\alpha\) irgendeine feste transfinite Ordinalzahl ist, nicht bei jeder abgeleiteten Funktion mit höchstens \(\alpha\) “totalisierenden Schritten” auskommt.

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Full Text: DOI Numdam Numdam EuDML