×

zbMATH — the first resource for mathematics

Integrals of Lebesgue. (English) JFM 46.0383.01
Diese Arbeit ist aus einem auf dem Chicago Symposium der American Math. Soc. am 6. April 1917 gehaltenen Vortrage hervorgegangen. Der Verf. gibt eine gute Übersicht über einen bedeutenden Teil der Lebesgueschen Integrationstheorie und zwar in ziemlich engem Anschlusse an Lebesgue und de la Vallée Poussin. Nach einer kurzen geschichtlichen Übersicht entwickelt er die Theorie der Intervallmengen und eine vorläufige Theorie der additiven Mengenfunktionen. Das Maß wird als Spezialfall der letztgenannten Funktionen eingeführt. Sodann folgen die meßbaren Funktionen, das Lebesgueschen Integral beschränkter Funktionen, Beispiele meßbarer Mengen und Funktionen, der Beweis für die Tatsache, daß jede im Riemannschen Sinne integrierbare Funktion auch im Lebesgueschen Sinn ntegrierbar ist, und die beiden Integrale übereinstimmen. Auf S. 28 wird nach Van Vleck gezeigt, wie ein Lebesguesches Integral in ein Stieltjessches wiederum nach Bliss in einRiemannsches verwandelt werden kann. Die Definition des Integrals einer summierbaren, aber nicht beschränkten Funktion erfolgt nach einem Verfahren von de la Vallée Poussin. Auch die Majorant- und Minorantfunktionen von de la Vallée Poussin (Cours d’Analyse, 3. Auflage, 1, S. 269; American M. S. Trans. 16, 461, 1915; Integrale de Lebesgue etc. Collection Borel S. 74) mit denen eine Perronsche Ideenbildung (F. d. M. 45, 445 (JFM 45.0445.*), 1914-15) nahe verwandt ist, werden eingeführt. Verf. entwickelt dann den Zusammenhang zwischen den (stetigen) additiven Mengenfunktionen und den (stetigen) Funktionen beschränkter Schwankung. Die letzteren werden nach dem Vorbilde von de la Vallée Poussin in zwei Bestandteile zerspalten, von denen der eine das unbestimmte Integral einer beliebigen der vier Derivierten der gegebenen Funktion ist, während der andere durch die auf die sogenannte singuläre Menge der gegebenen Funktion erstrecke Variation erzeugt wird. (Die singuläre Menge besteht bekanntlich aus den Punkten, in welchen alle vier Derivierten entweder \(+\infty\) oder \(-\infty\) werden.) Aus dieser Zerspaltung folgen dann leicht die bekannten Sätze von Lebesgue: das unbestimmte Integral einer Summierbaren Funktion \(f(x)\) hat fast überall die Ableitung \(f(x)\); jede absolut stetige Funktion ist ein unbestimmtes Integral (Vitali- Lebesgue); jede Funktion beschränkter Schwankung besitzt fast überall eine endliche Ableitung. lm letzten Paragraphen folgen einige Anwendungen und ein Beispiel einer Funktion, deren Variation auf der singulären Menge \(\neq 0\) ist.

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen. Mengentheoretische Methoden. Neuere Theorie der Integration und der Bestimmung des Volumens und der Oberfläche. Folgen von Funktionen. Approximation reeller Funktionen durch Polynome.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI