Notes on some points in the integral calculus. XLVIII. (On some properties of integrals of fractional order.). (English) JFM 46.0408.01

Hardy, G. H.

Messenger 47, 145-150 (1918).

Es sei \(f(x)\) summabel im Intervalle \(0\leqq x \leqq a\;(a>0)\) und \[ F_\alpha(x)\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha- 1}f(t)dt\quad (\alpha>0) \] (verallgemeinerte Ableitung). Der Verf. beweist mit elementaren Hilfsmitteln (mit Integralungleichungen) die folgenden beiden Theoreme:
1. Es sei \(f^{1+p}(p>0)\) summabel und \(0<a<1/(1+p)\). Dann ist \(F_\alpha^\rho\) summabel für alle \[ \rho<\frac{1}{\frac{1}{1+p}-\alpha}. \] 2. Ist \(\alpha>1/(1+p)\), dann ist sogar \(F_\alpha\) stetig. – Weiter wird gezeigt, daß in 1. nicht \[ \rho=\frac{1}{\frac{1}{1+p}\cdot\alpha} \] und in 2. nicht \(\alpha=1/(1+p)\) gesetzt werden kann, selbst dann nicht, wenn in 2. statt Stetigkeit nur Beschränktheit gefordert wird.

Reviewer: Szegö, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen. Mengentheoretische Methoden. Neuere Theorie der Integration und der Bestimmung des Volumens und der Oberfläche. Folgen von Funktionen. Approximation reeller Funktionen durch Polynome.