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Notes on some points in the integral calculus. XLVIII. (On some properties of integrals of fractional order.). (English) JFM 46.0408.01

Messenger 47, 145-150 (1918).
Es sei \(f(x)\) summabel im Intervalle \(0\leqq x \leqq a\;(a>0)\) und \[ F_\alpha(x)\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha- 1}f(t)dt\quad (\alpha>0) \] (verallgemeinerte Ableitung). Der Verf. beweist mit elementaren Hilfsmitteln (mit Integralungleichungen) die folgenden beiden Theoreme:
1. Es sei \(f^{1+p}(p>0)\) summabel und \(0<a<1/(1+p)\). Dann ist \(F_\alpha^\rho\) summabel für alle \[ \rho<\frac{1}{\frac{1}{1+p}-\alpha}. \] 2. Ist \(\alpha>1/(1+p)\), dann ist sogar \(F_\alpha\) stetig. – Weiter wird gezeigt, daß in 1. nicht \[ \rho=\frac{1}{\frac{1}{1+p}\cdot\alpha} \] und in 2. nicht \(\alpha=1/(1+p)\) gesetzt werden kann, selbst dann nicht, wenn in 2. statt Stetigkeit nur Beschränktheit gefordert wird.