Verschärfung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung für rationale Polynome. (German) JFM 46.0414.01

Lukács, F.

Math. Zs. 2, 295-305 (1918).

Ist \(f(x)\) eine für \(a\leqq x\leqq b\) stetige Funktion und daselbst \(| f(x)| \leqq 1\), so ist bekanntlich \[ \left| \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\right| \leqq 1. \] Ist \(f(x)\) ein trigonometrisches Polynom \(n\)-ter Ordnung und \(a=0,b=2\pi\), so gilt nach Fejér die schärfere Abschätzung \[ -1+\frac{2}{n+1}\leqq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)dx\leqq 1- \frac{2}{n+1}, \] und Fejér hat auch die Fälle der Gleichheit bestimmt. Die analoge Untersuchung führt der Verf. für Polynome \(n\)-ten Grades durch. Dies gelingt mit Hilfe gewisser mechanischer Quadraturen für rationale Polynome, die der Quadratur mit äquidistanten Abszissen bei den trigonometrischen Polynomen entsprechen. Es ergibt sich z. B. für Polynome \((2\nu-1)\)-ten Grades \[ -1+\frac{2}{\nu(\nu+1)}\leqq\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\leqq 1- \frac{2}{\nu(\nu+1)}, \] falls \(| f(x)| \leqq 1\) ist. Es werden auch die Fälle der Gleichheit bestimmt.

Reviewer: Szász, Prof. (Frankfurt am Main)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen. Mengentheoretische Methoden. Neuere Theorie der Integration und der Bestimmung des Volumens und der Oberfläche. Folgen von Funktionen. Approximation reeller Funktionen durch Polynome.