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Quelques remarques sur l’interpolation. (French) JFM 46.0417.01
Wenn man auf der Strecke (-1,+1) eine Funktion \(f(x)\) durch die Polynome \(P_{n_i}(x)\) näherungsweise darzustellen versucht, welche durch die Lagrangesche Interpolationsformel bei \(n_i+1\) äquidistanten Ordinaten geliefert wird, und wenn nicht nur diese Polynome auf einer Teilstrecke \(AB\) jener Strecke beschränkt bleiben, sondern auch die Polynome \(P_{n_i+1}(x,\alpha)\), bei denen noch eine beliebige weitere Interpolationsstelle \(\alpha\) hinzugenommen wurde, dann ist \(f(x)\) im Innern von \(AB\) analytisch, falls \(\overline{\lim}\frac{n_{k+1}}{n_k}\) endlich ist, andernfalls “quasianalytisch”. Der Verf. zeigt, daß die sich auf \(\alpha\) beziehende Bedingung nicht wegelassen werden darf. Er beweist auch beispielsweise, daß die Polynome \(P_n(x)\) für die Funktion \(| x| \) in keinem noch so kleinen Intervall konvergieren. Dagegen konvergiert passender von Runge gefundener nicht äquidistanter der Interpolationsstellen die Folge der Lagrangeschen Interpolationspolynome \(P_n(x)\) bei jeder auf der Strecke (-1,+1) regulären analytischen Funktion \(f(x)\) auch noch in Punkten außerhalb dieser Strecke gegen \(f(x)\). Bei dieser Verteilung, die z. B. bei der Gaußschen Interpolation an den Nullstellen der Legendreschen Polynome zutrifft, gilt für jede stetige Funktion \(f(x)\): \[ \int_{-1}^{+1}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{-1}^{+l}P_n(x)dx, \] während nicht notwendig für jedes \(x\) zwischen -1 und +1 die Gleichung \(f(x)=\lim_{n\to\infty}P_n(x)\) gilt.

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References:
[1] Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten. Ztschr. f. Math. u. Phys.46 (1901), S. 224. · JFM 32.0272.02
[2] Voir aussi D. Jackson, ?On the accuracy of trigonometric interpolation?. Transactions of the American Mathematical Society 1913.
[3] Voir le § 7 de mon article ?Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation des fonctions analytiques? (en russe). Communications de la Soc. Math.-de Kharkow, t. 13.
[4] Voir, p. ex. Encyklop. der math. Wissenschaften II A 2, p. 125.
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