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Sur les polynomes d’approximation. (French) JFM 46.0417.02

Der Verf. knüpft an Untersuchungen S. Bernsteins an und gibt zunächst einen vereinfachten Beweis und zugleich eine Verschärfung eines Bernsteinschen Satzes: Wenn das Polynom \(P(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\cdots+\alpha_nx^n\) auf der Strecke (-1,+1) dem Betrage nach \(<M\) ist, so ist \[ | P(x)| <\frac{M}{\rho^n} \] für alle Punkte \(x\) im Innern der Ellipse mit den Brennpunkten -1,+1 und der Halbachsensumme \(\frac 1\rho\). Daraus leitet der Verf. dann Ungleichungen wie die folgenden ab: \(a_p<M(\frac 52)^n\), ferner für alle \(x\) der Strecke (-1,+1): \(| P_n'(x)| <4Mn^2\). Er gibt auch die entsprechende Ungleichung für beliebige Differentialausdrucke, auch für solche mit nicht ganzzahligem Differentionsindex. Bei dieser Gelegenheit wird folgender Hilfssatz bewiesen: Wenn \(D^\alpha f(x)\) unter einer endlichen Grenze bleibt, so existiert \(D^\beta f(x)\) für jedes \(\beta<\alpha\). Für Polynome \(P(x,y)\) zweier Veränderlichen (\(P\) sein vom Grade \(m\) in \(x,\;n\) in \(y\)) findet der Verf. folgenden Satz: Ist \(| P(x,y)| <M\) in dem Quadrate \[ -1\leqq -x\leqq +1,-1\leqq -y\leqq +1, \] so gilt für jedes Gebiet \(\varGamma'\), das ganz innerhalb dieses Quadrats liegt: \[ \left| \frac{\partial^{\alpha+\beta}P(x,y)}{\partial x^\alpha\partial y^\beta}\right| <km^\alpha n^\beta M, \] wobei \(k\) noch von \(\varGamma'\) abhängt.
In zweiten Kapitel beweist der Verf. zunächst folgende Verallgemeinerung eines Bernsteinschen Satzes: Wenn \(P_n(x)\) im (-1,+1) ein so gutes Annäherungspolynom der Funktion \(f(x)\) ist, daß\(| f(x)-P_n(x)| <\frac{A}{n^\alpha}\) ist (mit \(A>0,\alpha>0\)), so existieren die Derivierten \(D^\beta f(x)\) für \(\beta<\alpha\). Sodann betrachtet der Verf. die endlichen Differenzen \[ \varDelta^1f(x)=f(x+h)-f(x),\varDelta^2f(x)=f(x+2h)- 2f(x+h)+f(x) \] usw. undbeweist: Bleibt \(\left| \frac{\varDelta^rf(x)}{h^\alpha}\right| \), wo \(r- 1<\alpha<r\), unter einer endlichen Schranke, existieren die Derivierten \(D^\beta f(x)\) für \(\beta<\alpha\).
Die letzten Ergebnisse werden im dritten Kapitel auf Funktionen mehrerer Veränderlicher sinngemäßübertragen.

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Full Text: DOI Numdam EuDML