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Über Interpolation. (German) JFM 46.0419.01
Die Lagrangesche Formel \[ \begin{split} L(x)=\sum_{k=1}^n y_k\frac{\omega(x)}{\omega'(x_k)(x- x_k)}\;(\omega(x)=C(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n), \\ C=\text{Konstante}) \end{split} \] stellt die sogen. Lagrangesche Parabel \((n-1)\)-ter Ordnung dar, die durch die \(n\) Punkte mit den rechtwinkligen Koordinaten \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\) bestimmte Parabel \((2n- 1)\)-ter Ordnung, deren zu diesen Punkten gehörige Tangenten zur Abszissenachse parallel laufen. Fejér nennt sie Treppenparabel und betrachtet sie besonders für vier spezielle Abszissenverteilungen:
1. \(x_1,x_2,\dots,x_n\) sind die Nullstellen des Legendreschen Polynoms \(P_n(x)\) (der Gaußsche Fall);
2. \(x_1,x_2,\dots,x_n\) sind die Nullstellen des \(n\)-ten Tschelbyscheffschen Polynoms \(T_n(x)=\cos(n\arccos x)\);
3. \(x_k=-1+\frac{2k}{n+1},k=1,2,\dots,n\) (Newtonscher Fall);
4. \(x_k=\cos\frac{k\pi}{n+1},k=1,2,\dots,n\).
In den Fällen 1. und 2. ändert sich die Treppenparabel in gewisser Weise stetig \(y_1,y_2,\dots,y_n\) (gleichmäßig in \(n\)). Ist ferner \(y_k=f(x_k)\), und die beschränkte Funktion \(f(x)\) stetig an einer Stelle \(\xi:-1<\xi<+1\), so konvergieren die Treppentarabeln für \(x=\xi\) gegen \(f(\xi)\), außerdem bleiben sie im ganzen Intervall (-1,1) zwischen der oberen und unteren Grenze von \(f(x)\) eingeschlossen. Im Falle 2. gilt dies auch für die Endpunkte \(\pm 1\). Es wird dann der Satz von Stieltjes über die Gaußsche Quadratur bewiesen. Schließlich werden trigonometrische Interpolationen betrachtet, die dem Lagrangeschen bzw. Gaußschen Fall entsprechen. Die Betrachtungen werden durchweg mit elementaren Mitteln geführt. (IV 3 D.)

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