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Über trigonometrische Polynome mit einer Minimumseigenschaft. (German) JFM 46.0462.02
Das Hauptresultat dieser Arbeit ist: Es sei: \[ \begin{split} M(x)=\mu_0+(\mu_1\cos x+\nu_1\sin x)+(\mu_2\cos 2x+\nu_2\sin 2x) \\ +\cdots+(\mu_n\cos nx+\nu_n\sin nx) \end{split} \] ein trigonometrisches Polynom \(n\)-ter Ordnung mit reellen Koeffizienten, das im Intervall \(-\pi<x<\pi\) mindestens \(2m(\leqq 2n)\) Nullstellen besitzt; ferner sei \(M(0)=)\). Im Bereich dieser Polynome hat der Ausdruck \[ S=\frac{(\mu_m^2+\nu_m^2)+(\mu_{m+1}^2+\nu_{m+1}^2)+\cdots+(\mu_ n^2+\nu_n^2)}{\mu_0^2+(\mu_1^2+\nu_1^2)+\cdots+(\mu_n^2+\nu_n^2)} \] ein von Null verschiedenes Minimum; das Polynom \(M(x)\), das \(S\) zum Minimum macht, ist bis auf einen Zahlenfaktor eindeutig bestimmt, es hat am Nullpunkt eine genau \(2m\)-fache Nullstelle, sonst keine Nullstellen im Intervall \(-\pi\leqq x<\pi\); es berechnet sich durch Lösung einer algebraischen Gleichung höchstens \(m\)-ten Grades. Es wird auch diese Gleichung aufgestellt und näher untersucht.

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