×

Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind. I, II. (German) JFM 46.0475.01

Diese inhaltsreiche Arbeit zerfällt in zwei Teile. Im ersten Teil wird eine Parameterdarstellung für die Gesamtheit \(\mathfrak E\) der analytischen Funktionen \(f(x)\) gegeben, die für \(| x| <1\) regulär sind und dem absoluten Betrage nach 1 nicht übertreffen. Darauf folgen Theoreme über beschränkte Potenzreihen, die in enger Beziehung zu den Carathéodory-Toeplitz-Fejérschen Untersuchungen stehen. Endlich bringt Teil verschiedene Anwendungen.
Zunächst wird auf die vorgegebene Potenzreihe \[ f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n+\cdots \] ein kettenbruchartiger Algorithmus angewendet, wodurch man eine Folge von Funktionen \[ f_0=f,f_1,f_2,\dots\left(f_{\nu+1}=\frac 1x\frac{f_\nu- \gamma_\nu}{1-\overline\gamma_\nu f_\nu};\;\gamma_\nu=f_\nu(0)\right) \] gewinnt, die sämtlich \(\mathfrak E\) angehören, wenn für \(f(x)\) dies der Fall war. Die Zahlen \(\gamma_\nu\) sind hierbei wohlbestimmte rationale Funktionen \(\Phi_\nu\) von \(c_0,\overline c_0,c_l,\overline c_1,\dots,c_{\nu-1},\overline c_{\nu-1},c_\nu\) und die \(c_\nu\) umgekehrt ganze rationale Funktionen \(\Psi_\nu\) von \(\gamma_0,\overline\gamma_0,\gamma_1,\overline\gamma_1,\dots,\gamma_{\nu-1},\overline\gamma_{\nu-1},\gamma_\nu\). Man hat ferner entweder \(| \gamma_\nu| <1\) für alle \(\nu\) oder aber \(| \gamma_0| <1,| \gamma_1| <1,\dots,| \gamma_{n-1}<1\) und \(| \gamma_n| =1\). Dieser Fall tritt dann und nur dann ein, wenn \[ f(x)=\varepsilon\frac{x^n\overline P(x^{-1})}{P(x)}\;(| \varepsilon| =1) \] ist, wobei \(P(x)\) ein Polynom höchstens \(n\)-ten Grades bezeichnet, welches nur für \(| x| >1\) verschwindet.
Es seien nun umgekehrt \(\gamma_0,\gamma_1,\dots\) beliebige Zahlen, für welche \(| \gamma_n| <1\) ist; dann stellt die Potenzreihe \[ \sum\Psi_\nu(\gamma_0,\gamma_1,\dots,\gamma_\nu)x^\nu, \tag{*} \] wobei die \(\Psi_\nu\) die oben definierten Ausdrücke bezeichnen, stets eine Funktion von \(\mathfrak E\) dar. Der Ausdruck (*) liefert also tatsächlich eine Parameterdarstellung für sämtliche Funktionen von \(\mathfrak E\), wenn die \(\gamma_\nu\) beliebige komplexe Größen durchlaufen, die absolut nicht größer als 1 sind. Hierbei wird jede Funktion von \(\mathfrak E\) genau einmal erhalten, mit Ausnahme des schon oben erwähnten Falles einer rationalen Funktion von spezieller Form. In diesem Ausnahmefall sind bloß \(\gamma_0,\gamma_1,\dots,\gamma_n\) eindeutig bestimmt, während die übrigen Parameter \(\gamma_{n+1},\gamma_{n+2},\dots\) beliebig gewählt werden können. Daraus ergibt sich auch leicht das Kriterium dafür, wann sich eine Potenzreihe mit sich eine Potenzreihe mit vorgeschriebenen \(m+1\) ersten Koeffizienten derart angeben läßt, daß sie zu \(\mathfrak E\) gehört.
Weiterhin werden diese Kriterien auf verschiedene Weise umgeformt und mit der Beschränktheit von gewissen Hermiteschen und bilinearen Formen in Verbindung gebracht. Es ergibt sich z. B. ein elegantes Determinantenkriterium dafür, daß eine Funktion von der Form \[ f(x)=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots}{b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots}\;(b_0\neq 0) \] der Klasse \(\mathfrak E\) angehört. Oder der folgende Satz: Die Potenzreihe \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx_n\) gehört dann und nur dann zu \(\mathfrak E\), wenn die Bilinearform \[ \sum c_{\lambda-\kappa}x_\kappa y_\lambda\;(\kappa,\lambda=0,1,2,\dots) \] beschränkt ist (kleiner ist als 1). Zum Schluß wird die Äquivalenz des Hauptsatzes mit dem Carathéodory-Toeplitzschen Satze gezeigt.
Der zweite Teil enthält Anwendungen, von welchen hier nur die wichtigsten hervorgehoben werden mögen. Man bezeichne mit \(s_n(x)\) die Partialsummen der Potenzreihe \(f(x)\), die zur Klasse \(\mathfrak E\) gehören soll. Der Fejérsche Satz \[ \left| \frac{s_0(x)+s_1(x)+\cdots+s_n(x)}{n+1}\right| \le 1 \] läßt sich dann folgendermaßen verschärfen: \[ \frac{| s_0(x)| +| s_1(x)| +\cdots+| s_n(x)| }{n+1}\le 1\quad (| x| \le 1). \] (Daraus folgt z. B. unmittelbar \[ \lim\sup_{n=\infty}(G_n-| s_n| )=\infty,\quad s_n=s_n(1); \] vgl. das Schlußresultat der vorst. besprochenen Bohrschen Arbeit.) Weiter seien folgende algebraische Anwendungen erwähnt. Die Nullstellen eines Polynoms \(n\)-ten Grades \[ g(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \] sind dann und nur dann sämtlich absolut kleiner als 1, wenn die Hermitesche Form \[ \begin{split} \sum_{\lambda=0}^{n-1}| \overline a_nx_\lambda+\overline a_{n-1}x_{\lambda+1}+\cdots+\overline a_{\lambda+1}x_{n-1}| ^2- \\ \sum_{\lambda=0}^{n- 1}| a_0x_\lambda+a_1x_{\lambda-1}+\cdots+a_{n-1-\lambda}x_{n-1}| ^2 \end{split} \] positiv definit ist. Ferner: Dann und nur dann liegen sämtliche Wurzeln der Gleichung \[ F(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n=0 \] auf dem Einheitskreise und sind voneinander verschieden, wenn \(c_0\overline c_{n-\nu}=\overline c_nc_\nu\;(\nu=1,2,\dots,n)\) ist, und sämtliche Wurzeln von \(F'(x)\) im Innenn des Einheitskreises liegen. Es werden endlich gewisse rationale Funktionen untersucht, die bei der obigen Parameterderstellung auftreten und weitere Bemerkungen zu dieser Darstellung hinzugefügt. Es gilt z. B. der Satz: Werden die Parameter \(\gamma_\nu\) derart gewählt, daß \(| \gamma_\nu| <1\) und \(\sum\gamma_\nu\) absolut konvergiert, dann ist \(f(x)\) stetig im angeschlossenen Einheitskreise \(| x| \le 1\). (II 3. IV 3 D.)

MSC:

30Cxx Geometric function theory
30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Crelle EuDML