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Ein Konvergenzsatz für Dirichletsche Reihen. (German) JFM 46.0489.01

Auch in dieser Arbeit handelt es sich, wie in der Voranstehenden, um den Fatouschen Satz. Schon 1909 (F. d. M. 40, 315 (JFM 40.0315.*)) hatte Riesz eine Verallgemeinerung des Fatouschen Satzes auf Dirichletsche Reihen angekündet, den Beweis aber nicht publiziert, weil er ihm noch zu kompliziert erschien. Mit denselben ebenso einfachen wie geschickten Mitteln, wie in der vorst. Arbeit, gelingt es ihm jetzt den Beweis zu erbringen. Der Satz lautet: “Erfüllen die Koeffizienten der Dirichletschen Reihe \(f(z)=\sum a_ne^{-\lambda_nz}\) die Bedingung \((a_0+a_1+\cdots+a_n)e^{-\lambda_n c}\to 0\) für ein positives \(c\), so ist \(f(z)\) für \({\mathfrak R}(z)>c\) konvergiert noch in jedem für \(f(z)\) regulären Randpunkte der Geraden \({\mathfrak R}(z)=c\) (und sogar gleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Strecke dieser Geraden, die nur aus Regularitätsstellen besteht).”
Weiterhin wird gezeigt, daß dieser Satz den Fatouschen Satz für Potenzreihen als Spezialfall enthält, daß die den Koeffizienten auferlegte Bedingung durch andere, gleichwertige, ersetzt werden kann (z. B. durch diese: Es soll ein \(K>0\) geben, so daß bei jedem \(\varepsilon>0\) und alle hinreichend großen \(n\) \[ | a_n+a_{n+l}+\cdots+a_{n+p}| <\varepsilon\text{ für }0\leqq\lambda_{n+p}-\lambda_n\leqq K \] gilt), und daß alles Wesentliche auch von Integralen der Form \[ \int_0^\infty a(v)e^{-vz}dv \] ausgesagt werden kann.

Citations:

JFM 40.0315.*
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References:

[1] M. Riesz: Sur les séries deDirichlet et les séries entières, Comptes rendus, Paris, Bd. 149 (1909, 2).
[2] E. Landau: Über die Bedeutung einiger neuen Grenzwertsätze der HerrenHardy undAxer, Prace matematyczno-fizyczne, Warszawa, Bd. 21 (1910), Vergl. S. 151–167.
[3] E. Landau: Über eine idealtheoretische Funktion, Transactions of the Amer. Math. Soc., Bd. 13 (1912). Vergl. S. 18–19. Für andere Anwendungen dieser Sätze vergl.D. Cauer: Neue Anwendung derPfeifferschen Methode zur Abschätzung zahlentheoretischer Funktionen, Inauguraldissertation, Göttingen (1914) undG. H. Hardy: On the expression of a number as the sum of two squares, Quarterly Journal of Mathematics, no. 183 (1915).
[4] M. Riesz: Neuer Beweis desFatouschen Satzes, Göttinger Nachrichten (1916); Sätze über Potenzreihen. Arkiv för Mat., Astr. och Fys. (1916).
[5] Vergl.M. Riesz: Comptes rendus, a. a. O. und Über einen Satz des HerrnFatou, Journal für Mathematik, Bd. 140 (1911).
[6] Für die ausführliche Darstellung der Eigenschaften dieser Mittel vergl.G. H. Hardy andM. Riesz: The general theory ofDirichlet’s series, Cambridge Tract in Mathematics etc. (1915).
[7] Die Bedingung ist auch beic=o hinreichend aber nicht mehr notwendig. Bleibt der Ausdruck auf der linken Seite von (I) nur beschränkt, so gilt dasselbe für die Teilsummen der Reihe an jeder Regularitätsstelle der GeradenR(z)=c. Ähnliches gilt, wenn in den späteren Bedingungen die Voraussetzung, dass gewisse Ausdrücke gegen Null konvergieren, ersetzt wird durch die Voraussetzung, dass diese Ausdrücke beschränkt bleiben, oder in der Ausdrucksweise von HerrnLandau, wenn o durch O ersetzt wird.
[8] Wie gewöhnlich, setzen wirR(a+bi)=a undI(a+bi)=b.
[9] J. L. W. V. Jensen: Sur une généralisation d’un théorème deCauchy, Comptes rendus, Paris, Bd. 106 (1888, 1). Diese Behauptung wird übrigens auch in Abschnitt 2 der vorliegenden Arbeit bewiesen.
[10] Natürlich kann {\(\lambda\)}0 auch o sein.
[11] Ingn(z) könnte auch statt \(e^{\lambda _n (z - c)} \) die Funktion \(e^{\lambda (z - c)} \) stehen, wo {\(\lambda\)} eine beliebige Zahl bedeutet, die der Bedingung \(\lambda _n \leqq \lambda \leqq \lambda _{n + 1} \) genügt.
[12] P. Fatou: Séries trigonométriques et séries deTaylor, Acta Math., Bd. 30 (1906). Vergl. S. 389–391.
[13] Für eine andere Herleitung dieses Ergebnisses vergl.Hardy andRiesz, a. a. O. S. 47.
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