Sur la croissance du module maximum des séries entières. (French) JFM 46.0506.03

Valiron, G.

S. M. F. Bull. 44, 45-64 (1916).

\(f(z)=\sum_0^\infty a_nz^n(a_0=1)\) soll den Einheitskreis zum Konvergenzkreis haben. \(M(r)\) sei das Maximum von \(| f(z)| \) auf \(| z| =r\), \(m(r)\) sei das größte unter den Gliedern \(| a_n| r^n\). Es sind aus den Arbeiten von Borel, und Wiman, sowie von Pólya (Ref. unten), dessen Untersuchungen Valiron noch nicht bekannt waren, Beziehungen zwischen \(M(r)\) und \(m(r)\) bekannt. Der Verf. stellt sich die Aufgabe, möglichst präzise derartige Abschätzungen herzuleiten. Er bedient sich dabei der Methode, die er mit schönem Erfolg bei der entsprechenden Frage in der Theorie der ganzen Funktionen angewandt hatte. Er findet z. B.: Ist \[ \overline\lim_{n\to\infty}\frac{\log\log| a_n| }{\log n}\text{ oder }\overline\lim_{r\to 1}\frac{\log\log M(r)}{\log\frac{1}{1- r}} \] endlich und von Null verschieden, so gibt es ein endliches \(k\), für das \(M(r)<m(r)\frac{1}{(1-r)^k} (r>r_0)\). Er gibt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Koeffizienten \(| a_n| \) an, wenn \[ \log M(r)\sim\frac{A}{(1-r)^k} \] sein soll. Nun sei unter \(n(r)\) die Nummer desjenigen Gliedes, das für \(| z| =r\) den größten Betrag hat, verstanden. Man setze voraus, daß \[ \overline\lim_{n\to\infty}\frac{\log| a_n| }{\log n}\text{ und }\overline\lim_{r\to 1}\frac{\log\log M(r)}{\log\frac{1}{1- r}}\text{ und }\overline\lim_{r\to 1}\frac{\log n(r)}{\log\frac{1}{1-r}} \] unendlich sind. Dann gilt \[ M(r)<m(r)[\log m(r)]^{1+\varepsilon(r)} \] mit Ausnahme gewisser Intervalle von \(r\). Die Länge derjenigen dieser Intervalle, die zwischen 1 und \(r\) liegen, ist \(o(1-r)\).

Reviewer: Bieberbach, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.