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Zwei Sätze über das Verhalten analytischer Funktionen in der Umgebung wesentlich singulärer Stellen. (German) JFM 46.0514.02

Der Verf. beweist zunächst die folgenden beiden Sätze:
1. Wenn \(\rho>2| \frac{a_1}{a_2}| \) ist, so besitzt die durch die Potenzreihe \[ {\mathfrak P}(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots \] dargestellte Funktion im Kreise \(| z| <\rho\) entweder singuläre Stellen oder sie nimmt daselbst einzelne Werte mehrmals an.
2. Es gibt eine Zahl \(k_n\geqq\frac{1}{n-2}\), aber \(\leqq\frac{1}{\sqrt{n-2}}\) derart, daß für \(\rho>k_n| \frac{a_1}{a_2}\) die Funktion \(a_0+a_1z+a_nz^n+\cdots\) im Kreise \(| z| <\rho\) entweder Singularitäten besitzt oder einzelne Werte mehrmals annimmt \((n\geqq 3)\). Mit weiterer Zuhilfenahme eines Phragménschen Satzes beweist der Verf. dann:
3. Eine ganze transzendente Funktion der Ordnung \(\rho\) nimmt in jedem Winkelraum, dessen Öffnung \(>\frac{2\rho- 1}{\rho}\pi\) einzelne Werte mehrmals an. Es wird gezeigt, daß die in den Sätzen 1 und 3 gefundenen Schranken nicht durch genauere ersetzt werden können.

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