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Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen. (German) JFM 46.0516.03
Abdruck der Dissertation des Verf. (Berlin 1914), über die F. d. M. 45, 647 (JFM 45.0647.*), 1914-15 ausführlich berichtet worden ist.

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References:
[1] Vgl.Hurwitz, Über die Nullstellen der Besselschen Funktion. Math. Ann. Bd 33. 1889.
[2] Rendiconti di Palermo. T. 37. S. u.
[3] Über eine Eigenschaft des Konvergenzkreises einer Potenzreihe. Archiv d. Math. u. Phys. 1914.
[4] Vgl. auch unten Kap. II § 3 Ende.
[5] Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe. Paris 1910. Sur les points irréguliers des séries convergentes de fonctions analytiques. C. R., Paris, T. 145, p. 910–913. 1907.
[6] Sulle successioni infinite di funzioni analitiche. Atti del IV0 Congresso. Roma, T. 2, p. 183–193. 1909.
[7] Beiträge zur Konvergenz von Funktionenfolgen. S. B. Berlin 1911, p. 587–613.
[8] Carathêodory u.Landau, l. c. Beiträge zur Konvergenz von Funktionenfolgen. S. B. Berlin 1911, p. 598–600.
[9] Oder eines derselben.
[10] Sopra le serie di funzione analitiche; Annali di Matematica (3), T. to.–HerrE. Landau hat in seine vor Kurzem erschienene Schrift: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin 1916, den Beweis des Hauptsatzes über Potenzreihen aufgenommen, wobei er jedoch statt desVitali’schen Satzes denHadamard’schen Dreikreisesatz heranzieht (vgl. l. c. S. 14 und S. 80–83).
[11] Siehe oben.
[12] Sur la théorie des fractions continues. Annales de Toulouse 1894.
[13] l.c. Sur la théorie des fractions continues. Annales de Toulouse 1894, § 2.
[14] Bulletin de la socitété mathématique de France 1914.
[15] Gesammelte Abhandlungen. Bd. II, S. 109. · JFM 59.0037.06
[16] Dieser zweite Schritt ist hier einem Punkte im Beweise des HerrnLindelöf ähnlich.
[17] Laguerre, Sur les fonctions du genre zéro et du genre un. Oeuvres I. p. 174–177. · JFM 14.0057.05
[18] Vgl. zu diesen ganzen Anwendungen folgende Arbeiten, die sich allerdings zumeist nur, bzw. auch, auf Polynomreihen beziehen:Pólya, Über Annäherung durch Polynome, deren sämtliche Wurzeln in einen Winkelraum fallen. Gött. Nachr. 1913; derselbe, Über Annäherung durch Polynome mit lauter reellen Wurzeln. Rend. Palermo T. 36. 1913;Pólya undLindwart, Über einen Zusammenhang zwischen der Konvergenz von Polynomfolgen und der Verteilung ihrer Wurzeln, Rend. Pal. T. 37, 1914;Jentzsch, Sur l’extension d’un théorème deLaguerre, Comptes Rendus 1914, t. 158;E. Lindwart, Über eine Methode vonLaguerre zur Bestimmung des Geschlechts einer ganzen Funktion. Göttingen 1914.
[19] Vgl.Montel, Leçons sur les séries de polynômes. Paris 1910.
[20] Vgl. S. 240 unten.
[21] In der vorstehenden Überlegung ist folgender Satz enthalten: Bestimmt man für jede \(\nu\), \(\kappa\)). Folge den \(\overline {\mathop {\lim }\limits_{a = \infty } } \sqrt[{x_a }]{{\left| {a_{x_a ,v_a } } \right|}} = \frac{I}{{\rho x, v}}\) und ist \(\rho\)” die untere Grenze aller\(\rho\) x,v, so istR gleich der kleinsten unter den drei Zahlen \(\rho\), \(\rho\)’, \(\rho\)”. Man kann diesem Satz eine allgemeinere Form geben, wenn man beachtet, dass \(a_{x_a ,v_a } \cdot v_a !\) der Wert derx a -ten Ableitung von \(f_{v_a } \) im Punkte o ist, und statt des Kreises |x|=R um den Nullpunkt den entsprechenden um einen beliebigen Punkt \(\xi\) der Ebene aus \(v_a !\left( {\frac{{\partial ^{x_a } f_{v_a } }}{{\partial x^{x_a } }}} \right)_{x = \xi } \) bestimmt; es ist damit die Verallgemeinerung derCauchy’schen Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe für allgemeine Funktionenfolgen geleistet.
[22] Vgl. die S. 233 angegebenen Arbeiten.
[23] Vgl. namentlich Kapitel III der Dissertation vonLindwart in § 2 wird daselbst auch ein algebraischer Beweis des wichtigsten hier in Betracht kommenden Hilfssatzes gegeben.
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